DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS LOGARITHMIQUE

ET EXPONENTIELLE.

Différentiation de la fonction logarithmique. 585. Soit la fonction logarithmique simple (557)

Les logarithmes sont rapportés à une base positive quelconque a.

En suivant la marche indiquée au n** 561, si Ton donne à a:, à partir d'une valeur déterminée quelconque, un accroissement ^Xy y prend un accroissement A/, et l'on a

j 4- Aj = log(a7 -h Ao:).

On en déduit, par soustraction,

tiy — \o^{oc^lœ)-'\o^x = \o%^'^^ ^logfi-^ -^j j

et, en divisant par Ax,

Av *^^0-^T^ (0

lix Ax

Si Ton fait tendre Aj? vers zéro, il en est de même de la

fraction — • Le numérateur du second membre de Téga-

lité (i) tend donc vers logi ou vers zéro (W6). Par suite, la limite de -r^ se présente sous la forme -• Pour lever cette indétermination, qui n'est qu'apparente.

nous poserons

— = a, d ou Aa? = ad?,

et a tendra vers zéro en même temps que \x.

En substituant dans le second membre de Tégalité (i), il viendra

Av __ log(f H-«) « ^^' ^^ log(i -h«)^ Ax ax X X

Pour passer à la limite, il faut faire tendre a indéfini-

ment vers zéro; mais alors (416) la limite de (i -f- a)* est le nombre e^ base du système des logarithmes népériens (504). Comme la limite du logarithme d'un nombre est évidemment égale au logarithme de la limite de ce nombre, on a finalement

Dlogx = ? = !^" ^ ax X

et

d[ogx:=zdfz=z — —dx,

quel que soit le système de logarithmes considéré.

On voit que la dérivée de loga? est égale à rinverse de la variable, multiplié par le module relatif M =^ loge , à l*aide duquel s'effectue le passage des logarithmes népériens aux logarithmes em,ployés (500).

586. Dans le cas où a = io, c'est-à-dire où Ton emploie les logarithmes vulgaires, on a (506)

M = loge=:::| = o,43429448i9. . . .

J^ • lO

D*une manière générale, et L désignant les logarithmes népériens (505), on a (500)

loge = -jL.

On peut donc encore écrire

dy \ ^ j dx

et dy =

dx xLa xLa

Si Ton suppose a = e, il vient

et Ton a

aa: x '^ x

Ainsi, quand on fait usage du système népérien, la dérivée

de Lx est simplement ^^a^ à l'inverse de la variable.

dx On donne à la différentielle — le nom âe différentielle

logarithmique de x (572).