Lorsque la variable x est remplacée par une fonction
de x^ on n'a qu'à appliquer le principe de la différentiatioa
des fonctions de fonctions (565).
Soient
j = log« et Mz=9(j?).
Nous aurons
dv loire du , \oy^e ,
-;— = — ^— -— , dY^=i ^-^—du, dx u dx ^ u
Si Ton a, par exemple, u = x*^, il vient (576)
dv loî?e ,„ , m loge , m loge ,
-i- = — ^— mx^-^ = ^- > dy z=z ^-- dx.
dx x"^ X '^ X
588. La règle de dlfTérentiation de la fonction logarithmique peut être très souvent appliquée à la recherche des différentielles d'autres fonctions.
Soit, par exemple, la fonction
où u est une fonction de Xy et que nous avons déjà considérée (576).
En supposant m quelconque et en prenant les logarithmes des deux membres dans le système népérien (505), il vient
ly =^ mlu ;
d'où, en prenant les différentielles des deux membres de cetic nouvelle égalité (586, 571),
dv du
— zzim — •
ALGÈBRE SUPËlllEURE. 4^3
Il ea résulte, en multipliant de part et d*aulre par 71= m"%
comme précédemment, mais bien plus rapidement (576). Soit encore le produit
où u^ (% ^, sont des fonctions de x.
Supposons qu'il puisse y avoir des facteurs négatifs. Pour tourner cette difficulté, puisque les nombres négatifs n'ont pas de logarithmes réels (Wl), élevons les deux membres de Tégalité au carré et prenons leurs logarithmes népériens. Nous aurons (11^93)
En différentiant les deux membres de cette nouvelle égalité, il vient (586, 576)
t/v' dii^ dv* dt^
ou
2V dy 111 du IV dv 2tdt
c'est-à-dire, en divisant par 2 et en simplifiant,
dy du dv dt
comme précédemment (573).
Différentiation de la fonction exponentielle. 580. Soit la fonction exponentielle simple (557)
où a est un nombre quelconque positif.
Nous déterminerons d*abord directement sa difTérentielle en suivant la marche indiquée au n<* 561.
Donnons à ^, à partir d'une valeur déterminée quelconque, un accroissement ^x. Il en résultera pour / un accroissement A/, et Ton aura
486 ALGEBRE SUPÉRIEURB.
d*oiiy par soustraclion,
et, en divisant par Aj?,
/ N Ar , «^* — I
Si Ton fait tendre A^ vers zéro, que a soit plus grand ou plus petit que i, la limite de a^^ est i (482), Par suite, la il-
mite de -r- se présente sous la forme -•
Aj? o
Pour faire disparaître cette indétermination, qui n'est
qu'apparente, posons
a tendant vers zéro en même temps que Ao:. De cette relation on déduit d'ailleurs
et, en prenant les logarithmes des deux membres dans un système quelconque,
Axloga = log(n- a), d'où
loga
En remplaçant, dans l'égalité (i), a^^— i et Ax par les valeurs que nous venons d'indiquer, nous trouverons
Ar , a ^ loga , logCT
ÙLX log(i -1-a) ï , / V -
loga -log(i-ha) log(i4-a)«
a et Aj? tendant simultanément vers zéro et la limite de log(i + «)" pour a = o étant e, nous aurons fmalement
Da^= -r- i=ia^r-^^5 da^ — dv — aF ,r^— dx , dx loge "^ loge
Remarquons que ces expressions subsistent, quel que soit le système de logarithmes adopté; car le rapport des logarithmes de deux nombres quelconques demeure constant quand on passe d'un système à un autre (502).
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 4^7
On voit que la dérivée de la fonction exponentielle est égale à la fonction elle-même, multipliée par le rapport des logarithmes du nombre a et de la base népérienne,
590. Si Ton emploie le système vulgaire, on a Iog«=:i et Ml = j—^ =:= L. 10 =r 2,3026850929. . .,
Ml étant le module relatif qui permet de revenir des logarithmes vulgaires aux logarithmes népériens (506).
Si Ton emploie le système népérien, on a /e = i et, par suite,
Da* z=i.-f- z=ia^ lay da^:= dy = a* la dx.
dx ^
591. Si a devient égal à e, la fonction exponentielle devient
et Ton a
dv De^ =.-±- —e^, de^— dy — e'dx.
dx ^
Il en résulte ce fait remarquable : la fonction e^ est égale à sa dérivée, de sorte qu'elle se reproduit indéfiniment par dérivations successives.
