Lorsque la variable x est remplacée par une fonction

de Xy on n'a qu'à appliquer le principe de la difTérentiation

des fonctions de fonctions.

Soient

j^ =1 a'* et « = (p(j7).

Nous aurons, en prenant les logarithmes népériens,

dy du

Da"trr -^ ~ a» la -.-, ^a'*= dy = a« la du.

dx . dx ^

593. Cherchons maintenant la différentielle de la fonction exponentielle, en la ramenant à celle de la fonction logarithmique. Le résultat sera presque immédiat.

Soit la fonction

Prenons les logarithmes des deux membres, dans le sys-

tème népérien pour plus de simplicilé. Nous aurons

En dîfTérentiant les deux membres, îl vienl

— z=. la dxy

d'où, en multipliant de part et d'autre par v=: a*,

dy dy=L a^ la dx et -j— = a^ la^

comme précédemment (590).

594. Supposons, inversement, qu'on veuille déduire la différentielle de la fonction logaritlimique de celle de la fonction exponentielle.

Soit la fonction

/=:log^,

les logarithmes étant pris dans le système dont la base est a^ On en déduit la fonction inverse (507)

dont la dérivée est (589)

^•^ *,loR« dy loge

Les logarithmes étant rapportés à la base a et a>* élant jCr

il vient

dx X

dy "* loge' c'est-à-dire (563), pour la fonction logarithmique,

dy I loge ^ , log^j

-j- = :7- = —^^ et dy = —2- dx, dx dx X *^ X

comme précédemment (585).

Différentiation de u^,