DEUXIÈME GROUPE : TANGENTE ET COTANGENTE
601. Nous chercherons d'abord directement la difTérentieile de la fonction
En donnant à a; Taccroissement Ix, on fait prendre à y Taccroissement Ay, et Ton a
y-i- Ay = tang(âr -h Ùlx) ;
d'où, par soustraction,
ày = tang(^ -h Ax) — tango?
et, en divisant par Ax^
Ay i9ïig(x -hAx) — i^ngx
^^ Ax Ax
Quand Ax tend vers zéro, le numérateur du second membre
Ay
de l'égalité (i) tend aussi vers zéro. La limite de -j— se présente donc sous la forme -•
Pour lever cette indétermination apparente, remarquons que, d'une manière générale {Trigon.y 55),
tang(a — 6) =
tangûf — tang6
n- tangatang6
Si l'on pose
a-=zx -\- Axy b^=.x,
il en résulte
. tang(a?4- Aj?) — tango?
lang Ax = , 7' — -. \ .. — >
^ i-h tang(o:4- Aor) tango?
el l'on en déduit j laDg(o?H-Ao?) — lango?=:[i -f- tang(o?H- Aj!?)tango?] tangA.r,
Ht C. — Court. UI. 32
vers
498 ALGÈBRE SUPÉKIEUUE.
c*esl-à-dire
-^ = [i 4- iang(;r -+- 4ur) langa:] ^"^ ^ -
Si Ton fait tendre Hx vers zéro, le rapport — ~ — tend
runité {Trigon.^ 104-), et l'on a, par conséquent, en passant à la limite {Trigon., 36)
dv I
-f- = I -h tang* JT = séc'o? = — r— ax cos'a?
et
dy=z (1 -h iang^ x) dx = r— •
*^ ° ' cos*a?
La dérivée de la tangente d'un arc est donc égale au carré de cette tangente augmenté de i ou à l'inverse du carré du cosinus de cet arc.
On voit par là que la tangente croît constamment avec Tare, sauf les points où la fonction est discontinue {Trigon., 28).
602. On peut, plus simplement, recourir à la règle de différentiation d'un quotient; car on a {Trigon,, 34.)
sina?
r = tango: = •
•^ cos.r
Il en résulte (574)
cos^e/sino? — sinj?6f cos.r (cos*a: -+- sin*.2r)rf^'
•^ cos*j? cos'o?
ou, comme précédemment,
dx dv I
dy =
cos'o; dx cos*a:
603. On peut aussi employer les considéralions géométriques (599).
Soit A l'origine des arcs dans le cercle trigonométrique OA, et AM l'arc X {fig, 8). Donnons à cet arc l'accroissement MM' = Lx et menoiLH la droite OM'T'. L'accroissement correspondant A/ de la fonclioa
y = tangor = AT
sera évidemment représenté par TT'. En décrivant l'arc TN conceiH
ALGÈBRE SUPÉRCEI;RF/
Irique à Tare MM', 0:1 a {Géom., 231, Trigon., \i\)
MM' ~ OA '" cosx
D*auire pari, quand on fait tendre Anvers zéro, il en est de même de l'arc TN qui tond à se confondre avec sa corde, et le triangle TNT 8*app:oche de plus en plus de devenir rectangle en N et semblable au
Fl(r. 8.
triangle OAT. On a donc, à la limite, TN = TT' cosx et, par suite,
diaprés la relation (j),
dy eosx i
dx
cosx
ou, comme précédemment,
djr 1
dx cos'x
60i'. On peut suivre une marche analogue (601, 602, 603) pour trouver la dérivée de la cotangente. Mais il est plus simple d'opérer comme nous l'avons fait pour le cosinus.
On 9L(Tiigon.,%)
Il en résulte
y = cotx = tang (
dy = dUng (^^-^xj = yi^ tang» ^? - ajj d(j-^ xj
c'est-à-dire ( Trigon., 36, 34) rfy = — (n- cot'o;) dx =
sm'd:
$00 ALGÈBRE SUPÉRIEURB.
el
— HZ— (H-COt*a:)=: r-r--
dx sin'j?
La dérivée de la cotangente d'un arc est donc égale à moins le carré de cette cotangente augmenté de i ou à moins l'inverse du carré du sinus de cet arc.
On voit par là que la cotangente décroît constamment à mesure que Tare augmente, sauf les points où la fonction est discontinue {Trigon,, 31).
