Soit, enfin, la fonction

j=:arccoséca:.

11 en résulte

X ■= cosécj.

Par suite (607),

da:=z r-~- dy =z — coséc/ cotj dy^

d'où (Trigon.,^)

- sin'j , dx dx'

^ "" cos/ ^ '" cosécj cot/ ~" X v/^— I

dy I

dx j^ y//p* I

Nous avons un double signe dans ces formules, en raison

du radical \Jx^ — i . En effet, si Ton représente par/o l'un ^^cs arcs qui ont x pour cosécante, tous les autres sont compris dans les formules {Trigon., ki)

ikn-hyo et C^^+O^— 7o«

Mais, dans Tapplication, si Tare/ est indiqué» il n'y a plus

d^ambiguTté ; car le radical \/'x- — i ou y^coséc*^ — i , remplaçant cotj, doit recevoir le signe de cette cotangente. Dans ce cas, la dérivée et la différentielle de arccoséco; ont un signe contraire à celui de cot/.

620. On peut aussi trouver la dérivée de arccoséc par des considérations géométriques. Le lecteur s'en assurera facilement, d'après ce qui précède.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 5o9

Nous remarquerons seulement que, pour une même valeur

de d?, el en tenant compte du double signe du radical \/x^ — 1> les dérivées des deux fonctions arcséca? et arc coséca? sont, d'une manière générale, égales el de signes contraires ou égales et de même signe. £n effet, soit y l'un des arcs dont la sécante est x. Les

deux arcs y ^iy auront alors tous deux x pour co-

sécante ( Trigon., 8, 19, 29). Des relations

arc %écx z= arc coséc a?,

on déduit

arc sécx = arc coséca:,

arc séc a; ih arc coséc x = - •

La somme ou la différence de arcséco: et de arccoséc^ étant égale à une constante, les dérivées des deux fonctions doivent bien être égales et de signes contraires ou égales et de même signe.

EXEUFLES.

62i. I* ChercheP les différentielles des fonctions

y = sinmj?, y = arcsin - > y = sin* j:'.

En appliquant les résults^ts trouvés dans ce Chapitre, concurremment avec le théorème des fonctions de fonctions, on a immédiatement

, * , dsmmx

a sinrnx = m oosmx €lx. — -j = mcosmx:

\ ' dx

, , aarcsm -

, . X i dx ax ai

aarcsm - = — , — = >

dsin^x* = 4 sin* j:* cosa:' ^xdx = Sx sin'x' cosa:*^,

' -r- = Sx sin'x' cos j:'.

2* Chercher les différentielles des fonctions

. . ^ r= log sinx, r = log cosor, y = log tangx.

5lO ALGÈBRE SUPÉRIEURB.

Nous aarons recoure, de môme, aa théorème des fonctions de fonctions et à la diffôrentiatioQ des fonctions logarithmiques. Il viendra

^log8inx= -M—cosxcLr = \ogecoixdx

^ — =log<?cotj:;

lo&f ^ dlog cosx = — ^— (— sinx dr) — — loge tang x dLr cos •*

d log cos j: ,

— 1^ — =-logelangx;

,, . loge dx alog^ ,

tf log tangx = --S— — r- = . ° dr

^ ° tangjr cos*x sm-ij:

dlog tangjr 2 Jogg log g iùc ~~ sinao: ~~ sinorcosx

3" Chercher les différentielles des fonctions

jr = log lang j , j = log Ung T^ -4- ^ V

On a

*i . ^ logg I dx logg ,

d log tang - = — = -r^^ dx

° ° 2 , X . .A' a smx tang-- cos*-

fltr sinx*

Iog<? I dx

rflog lang(^ + f )= ';^" , /.' XV

-J2£^ djc^^^^djc

. /ir \ COSX

sin

rflogtang(^-^f) ^ ,^g^

<£r cos.r

4" Chercher les différentielles des fonctions y = log arc sinx, y = log arc cosx, y = log arc tangx.

ALGÈBRE SUPÉillEURB. 5ll

On a successivement

lozc djc ^losrarcsinx loge

•^ arc *in x ^, __ ^j €U arc sinx. /i-Tr*

^lo^arcsinx

djo

^/lo^^arccosx

fifx

c/lo^arc tan^x

loe^ — dx f/lofîarccosx loge

arc C08X /fZ^i* dx apc cos x ./» — •^'

1o^^ ^x c/loi;arc tangx \oae

il log arc langx - — : » — 5 ^^— = ; ^ z- •

° arc tangx i -i- x* de arc tangx.(i -h x* )

5* Chercher la différentielle de Ut fonction D'après la différentiation des fonctions exponentielles, on a

. l0ff<? d:c ^rctlor

^/^rcslu^ ^arcslnr

6* Chercher la différentielle de la fonction

y = log [x -f- (x« — rt*)* J -H arc séc — •

Nous aurons, d'après les formules connues,

Comme

r Al I -*-

rf|;x-F(x' — û*)*J = «trn — (X* — a') *2xrir

j rfx

et que

a dx

5l2 ALGÈBRE SUPÉKlEtaE.

il vient, en simpliGant,

dx = :^ j ax.

rf/= 1 + ï

Si les logarithmes sont pris dans le système népérien, loge = i , et l'ex-

pression devient, en divisant ses deux termes par (x + a)*,

x\^x — aj de x\^x — a\

7* Chercher la différentielle de la fonction

r = arc tang • •

° I — ax

On a, en simplifiant,

^ a -hx d

j I — ax __ 1 — a.r -\-a{n A- x)

^ ~ / ^ -^ -^ V ~ (i — ûj?)'h-(«-+-jp)'

\ i — ax)

air =

(i -i-a')(i -Hx') i-hx*

On voit que cette différentielle est la môme que celle de arc tang x (613). Il est facile d'indiquer la raison de cette coïncidence. D'après la formule ( Trigon., 55)

/ u\ tanga -+- tangfc

Ung(<2-t-6)= 2 ^ .

''^ ^ 1 — tang«lang6

a -4~ X l'arc dont la tangente est égale à est la somme des arcs qui ont

pour tangentes a et x, et Ton a

jr = arc tang = arc tanga -h arc langx.

Si Ton regarde alors, comme nous l'avons fait, a comme une constante, tous les arcs correspondants, en désignant l'un d'eux par Â, seront compris dans la formule / ic + A, et l'on aura, d'une manière générale,

j = ^ir -h A -h arc tangx,

d'où

dy = ddiTC tangx.

8** Trouver la différentielle de la fonction composée

Y = arc tang 1

•^ ° I — uv

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 5l3

OÙ II et p sont des fonctions de x. Cet exemple est la généralisation du précédent. On a évidemment

— (' ■+• ^*)du -h (i -h u^)dç du dv

Ce résultat pouvait être prévu, puisque, d'après ce que nous venons de rappeler (7'),

jr = arc tang — - — = arc tangw -+■ arc tangc.

9"* Chercher la différentielle de la fonction

y = arc sinaxy^i — x».

On a