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en déduire la somme des cosinus des mêmes tires,
' De C. — Cours. III. 33
5l4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
n suffit de différentier par rapport à x les deux membres de l'égalité. En supprimant ensuite dx de part et d'autre, on a
COSJ:^ COS(j: -h /i)-l-COS(j:-i-a/i)-f-.. .-♦- COS[.r-f-(/M — \)h\
. mh r (m — i)/n
sm — cos Lr -H ^ —
, h sm-
C'est le résulut déjà obtenu ( Trigon., 90). Il* Chercher la différentielle de la fonction
^ = arctangg^g.
On a
ér* — e-^
'* ~ /g*— g-*V " (g*^- r-'^'-hCc* — g-*)«
ou, en effectuant et en remarquant que e^e-' = go= i^
^ ~ igî'-t-ig-»' ^ g«*H-g-«* *
12" Chercher la différentielle de la fonction
i/rt* — />* sin .r Y = arc tang —, •
On a
,/a* — />*sinj:
: , b -¥- ac.osx
dr = —
(û*— ^>)sin*.r
(^-HACOS^r)*
^ v/a* — b*coi^x(b -h flCOSx)-f-a\/a* — 6* sin* or ~~ {b-+- acosu)^'¥-(a^ — b^)sin*x
ou, eu effectuant el en simplifiant,
, ^a^—b^ia-h bcosx) , y/a* — b* ,
dy - — ; 1 TT — dx = — ï — 7 dx.
(a-{- b cos j:)* a-hb cos j:
1 3* Chercher In différentielle de la fonction
b -ha cosx Y = arc cos r •
•^ « H 6 cos j:
dx
. ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 5l5
On a
jb -ha C08X
, a -ho oosx
y xa-hb cosj:/
, asinx(a-h bcosj::) — b s\nx(b ^ a cosx) , ar = ^ —^—dx
{a-t- b C08x)/(a-h ^cosx)*— (6 -i-acosx)> ou, en effectuant et en simplifiant,
dy — ^^ dx = — — T dx,
(a-hb cosx)v/a» - b^sinx ^-^^ cosx
On remarquera que cette différentielle a la môme expression que la précédente (la*). Voici la raison de ce fait. Si l'on désigne par^ Tun des arcs dont la tangente est égale à
/a* — b* sinx A -f- a C08X
on a en même temps
v/i -+- tang* j
/ (a*—b^)sm*x \ (b-hacosx)^
__ b-hacosx i>H-aC0<*.r
~ \/{b^acosxy-h(a^—b*)sm^x ~ « -4- 6 cosx'
Ainsi Tare j^ est aussi Tun des arcs dont le cosinus est égal à
b -¥-n cos.r a-h b cosx
Tous CCS arcs seront alors compris dans les formules
^kiz-hx et 2Atc — /;
et les deux différentielles calculées (aa** et iS"") doivent bien être égales et de même signe ou égales et de signes contraires, comme Tindiquent les formules obtenues.
14° Chercher la différentielle de la fonction
y = COSo:*^""'.
5l6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE*
En appliquant le théorème des fonctions composées, nous aurons
lofif C08X
dy = cosj:*'"' — I cosx<ir4-8inxco8a:*'"*^'(— sinjr</xX
dr = cosx»»»' — ? coso: \dx.
On peut vérifier ce résultat à l'aide de l'expression générale de la différentielle de^ = «•' (595).
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 5l'J
