DIPFÉRENTIATION DES FONCTIONS IMPLICITES

Cas d'une senle fonction.

62â. Nous avons vu qu'on appelait fonctions implicites celles qui sont liées aux variables dont elles dépendeat par des équations non résolues ou par des conditions non exprimées analytiquement

Nous ne considérerons que celles qui sont déflnies par des équations non résolues.

623. Le cas le plus simple est celui où la fonction implicite y est définie par une seule équation entre cette fonction et la variable x.

Soit cette équation

y, quoique inconnue, étant une fonction déterminée de x^ on peut regarder /(a?, j) comme une fonction composée de X (567). Cette fonction, par hypothèse, est constamment nulle; elle est donc constante, et sa différentielle est égale à zéro (5W). Or, d'après le théorème des fonctions composées (567), cette différentielle a pour expression

df . d/, .

dx dy •'

On a donc

-L^-^Iy'^y "'

et l'on en déduit

df

df

dy —

- ''* dx et ^y

df '^'^ ®^ dx -

dX' df

dj

dy

5l8 ALOÈBEE SUPÉRIEURE.

Ainsi, la dérivée d'une fonction y^ liée à la variable x par l'équation /{x,y) = o^ est égale au quotient, changé de signe, de la dérivée partielle du premier membre de l'équation relativement à x par la dérivée partielle de ce premier membre relativement à y.

Remarquons que ces dérivées partielles sont, en général, exprimées à la fois en fonction de x et de y^ et qu'elles no peuvent Tètre en fonction de x seulement, que si Ton peut résoudre Téquation f{x^y)^=:o par rapport à y. Mais, lors même que cette résolution est impossible, le résultat obtenu n'en est pas moins d'une très grande utilité, comme on le verra surtout en Géométrie analytique (t. V).

62iii'. Soit, par exemple,

(qui est l'équation d'une ellipse rapportée à ses deux axes 2a Nous aurons

df ^ ^ — ?Z

dx a' dy b^

et, par suite,

dy a' b'^x

dx iy a'^y

L'équation donnée étant résoluble par rapport à y^ on peut

facilement vérifier ce résultat. On déduit, en effet, de cette

équation

a^ et, par conséquent,

dy b ^x b*x b^x

625. Voici un second exemple s'appliquant à une fonction transcendante.

Nous avons trouvé ( Trigon., 72) l'équation suivante, pour

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. SlQ

délerminer cosx- en fonction de coso:^

4 CCS* T — 3 CCS 5" — COSd? = G.

Posons y = cos -s- • L'équation deviendra

f{^yy) = 4/*— 3r — cosj: = 0.

On a ici

Par suite»

dY %\nx

dx 1 2 j* — 3

3 3 ~ 127*— 3 En remplaçant j" par sa valeur il vient

\ , X sinj?

12 cos' 2^—3

c'est-à-dire

of

Il est facile de vérifier ce résultat, puisque Ton a j =: cos -j On en déduit

et il reste à démontrer l'identité

\ , X sinar

-sm TT ■=-

sm -5- ( I — sm* ^ j — sin ^ = sino?

ou

sin -j — 4 sin' « = sm j:,

qui est précisément la relation par laquelle on détermine sin ^ en fonction de sin^r ( Trigon,, TJ).

5aO ALGÈBRE SUPÉRIEURE.