Soity enfin, l'équation

qu'on ne peut pas résoudre par rapport à Tune des variables. On a

•^ ^=.y^ly — j^r-» et ;/" = xy^^^ — x^ ixy c'est-à-dire

^.y y^ ^y — yx^^^

tx ~'~ xy'-^—xTlx'

On peut simplifier ce résultat en remarquant que, d'après l'équation elle-même, on a

y*=:xr.

En divisant par cette quantité les deux termes de l'expression et en changeant le signe, il vient

dy ^ X

dx , X

Cas de plastears foBctions.

627. Soient maintenant y et z deux fonctions implicites de X, liées à la variable par les deux équations

^ et ^ étant des fonctions déterminées de x, on peut regarder les fonctions / et f comme des fonctions composées de X, et leur appliquer séparément le raisonnement précédent (623). On a donc, d'après le même théorème (567), les différentielles des deux fonctions composées devant être nulles, parce que ces fonctions sont constamment nulles,

df. df , df .

^dx^J^dy^J,dz:^o.

--.^dx -{- -r-dy-^ -^ dzz=io.

dx dy *^ dz

On obtient ainsi deux équations du premier degré en dy

▲LGÈBRK SUPÉRIEURE. Ss I

et en dz qui feront connaître ces différentielles en fonction de dx et de œ^ y^ z. Il est commode de mettre les résultats trouvés sous la forme

dx J ^y ^^

dc^ df df^ df d^ df d(^ df d<^ df d<f df dy dz dz dy dz dx dx dz dx dy dy dx

On en déduira dy et dz ou les dérivées -^ et ->- •

•^ dx dx

6S8. On généralisera facilement ce qui précède. Si l'on a m — I équations entre m variables, on peut prendre Tune d'elles pour variable indépendante, et les m — \ autres variables deviennent des fonctions implicites de cette seule variable indépendante.

Soient les m — i équations

f\{^yy> SyU, ...) =0,

OÙ X est la variable indépendante et j, -s, a, . . ., les m — i fonctions implicites de x.

Les différentielles des premiers membres de ces équations devant être nulles, on aura

^Adx +pdy +^dz +pdu +...-0, dx dy ^ dz du

-y— ax -h -r— »> H — ^ dz H — — - au 4- ... m o, dx dy -^ dz du

^I^dx^^i^dy^'^-i^i^dz^^ dx dy "^ dz du

En résolvant ce système de m — i équations du premier degré, on pourra obtenir les différentielles dy^ dz^ du, . . . , en fonction de dx et de x, y, z, u, ... ; puis, les dérivées dy dz du dx dx dx

Slimination des constantes.

629. Ce qui précède nous conduit à dire un mot de réiimination des constantes arbitraires qui peuvent faire partie d*un système d'équations.

Soit d'abord Téquation

où C représente une constante arbitraire.

La diftérentiation du premier membre de cette équation, où y peut être regardée comme une fonction implicite de Xy nous a donné

dx dy ^

ou, si Ton veut, en divisant par dx^

dx dy dx

En éliminant la constante C entre les équations (i) et (2), ^ étant la dérivée partielle du premier membre de l'équation (i) par rapport à j?, et -~ la dérivée partielle de ce premier membre par rapport à j, on obtiendra une équation

entre la variable indépendante Xy la fonction y et sa dérivée

dx

L'équation (3) ainsi déduite de l'équation (i) est une équation dijférentielle,

X ^iy désignant les coordonnées d'un point rapporté à des axes rectangulaires, si Ton donne à la constante arbitraire C une infinité de valeurs, l'équation (1) représente une famille

de courbes; et, comme -~- est alors (536) la tangente trigo-

aX

nométrique de l'angle formé par la tangente à la courbe avec l'axe des x, l'équation (3) exprime, dans cette hypothèse,

ÀLGÈBRB SUPÉRIEUHE. 5^3

une propriété de la tangente, commune à toutes les courbes (le ]a famille considérée.

Nous retrouverons ces considérations en Géométrie analyique.