Nous traiterons deux exemples très simples
j"* Nous avons vu précédemment (583) que réquation i) x^ = ipx -♦- C ou ^> * — a/7x — C = o
représente toutes les paraboles de paramètre p ayant leur axe conondu avec l'axe des x.
Si Ton différentie le premier membre de Téquation (i), il vient
a) a j- dy — a/? dx = o ou y -^ =p,
La constante C disparaît ainsi d'elle-même, et l'équation (2) remplace réquation (3) du n*" 629. C'est V équation différentieUe déduite de la proposée.
On voit qu'elle exprime (883) que la sous-normale est constante pour toute la famille de courbes représentée par l'équation (i).
o!* Soit l'équation
(l) jr*=1àpx ou jr* — a/>A = 0,
dans laquelle p est supposé avoir une valeur arbitraire, et qui représente une parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet (583).
En différentiant le premier membre de l'équation (i), il vient
(a) ^fdjr — •xpdr = o ou jr-^r=p.
En éliminant alors la constante arbitraire /> entre les équations (i) et (a), nous obtenons l'équation différentielle ( 3 )
(3) r'— ar^J: = o ou ^ = ^-^^'
Si Ton se reporte à la^. 11, la sous-tangente TP satisfait précisément à la relation
L'équation (3) prouve donc que, dans toutes les paraboles qui ont
même axe et même sommet, la sous-tangente est toujours double de Tabscisse du point de contact, propriété connue (Géom., 75S).
H(j. Il,
631. D'une manière générale, soient m équations entre une variable indépendante x, m fonctions implicites y^ z, u, ,.. de cette variable, et m constantes arbitraires C,, Cs, Ci, — Ces m équations seront de la forme
ft (^f^y^j ^f ' '9 Cl, Cl, Cj, . . . ) = O,
Jt (^> V» ^» w, . . . ♦ Li, Cl, Cij, ...)=: o, <
' Jm \^9 y y ^9 ^^9 • ■ • > '-'1» ^1» '-«l» . . . ) ^^ O.
En différentiant les premiers membres de ces équations et en égalant les résultats obtenus à zéro, on a, en divisant par dx, un nouveau groupe de m équations de la forme
dx
dy dx
dz dx
^ rf/, du du dx
dft dx
^ d.U dy dy dx
. df^ dz dz dx
^ dfx du du dx
dx
dy dx dz dx du dx
dfm . df„, dy dfm dz df^ du
En éliminant entre les a m équations des groupes (i) et (2) les m constantes arbitraires Ci, Ci, Cs, . . ., on constituera un
ALGEBRE SUPÉRIEURE. SsO
nouveau groupe de m équations de la forme (629)
/ dy dz du \
(dy dz du \
(dy dz du \
Le groupe (3) ainsi formé est ce que l'on nomme un système d'équations différentielles simultanées.
5â8 ALGÈBRE 8UPÉB1EURE.
En effet, considérons la fonction de x représentée par l'expression
Elle s'annule évidemment pour x-=ix^ et pour x = X. D'ailleurs, pour les valeurs de x comprises entre x:=zjc^ et J7 = X, elle a une dérivée égale à
c'est-à-dire bien déterminée (539). D'après le théorème précédent, cette dérivée doit donc s'annuler pour une valeur ar, de X, comprise entre x^ et X. On a, par suite,
A. — Xf^
Nous avons supposé, dans notre démonstration, X>j?«; mais la formule trouvée est indépendante de cette hypothèse, puisque la permutation de X et de x^ la laisse identique.
On peut poser
X = Xo-H A,
en désignant par h la différence des deux valeurs X et x^, La quantité a?], comprise alors entre x^ et x^-h h, peut être représentée par 070+ 6 h, 0 étant un nombre compris entre o et I, sans être ni l'un ni l'autre. La formule (i) devient ainsi
(a) /(^«H- h) -/(^o) = h/'{x,-h eh).
635. La proposition qu'on vient d'établir conduit, d'une autre manière, à ce théorème important, déjà démontré (540) :
Lorsque la dérivée d'une fonction est constamment nulle dans un certain intervalle, cette fonction se réduit à une constante dans le même intervalle.
En effet, d'après la relation (a) [634], si l'on a/'(a:)=ro pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle con sidéré, on a aussi/'(a:g-h Bh) = o. Il en résulte
quel que soit A, pourvu que les deux valeurs x^ et oto + A
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 5^9
soient comprises dans l'intervalle; /(.r) conserve donc la même valeur dans cet intervalle et se réduit à une constante.
636, UI. Soient f{x) et V{x) deux fonctions qui restent continues pour toutes les valeurs de x renfermées dans un certain intervalle et ont, pour ces valeurs, des dérivées par^ f alternent déterminées f'{x) et F'(x). Si Xq et X sont deux valeurs de x comprises dans cet intervalle et si x^ est une va" leur de x comprise entre Xf^ et X, on a
/(X)-/(^o) ^ f\x,) F(X)-F(xo) F(xi)"
[11 est entendu que F'(â?), qui peut être nulle ou inQnie pour a? riz a7o ou pour :r = X, ne Test pas pour les valeurs intermédiaires.]
Considérons la fonction de x
fia:) -/(.,) - [F(^) - F(x,)] Ç^^^^^y
Elle est nulle évidemment pour x^n^x^ et pour ^ ~ X, et elle admet, dans Tintervalle de ces deux valeurs, la dérivée bien déterminée
Cette dérivée doit donc s'annuler (633) pour une valeur a?, de x^ comprise entre ^o et X, de sorte qu'on a
^^ F(X)-F(:ro)~ ¥'{x,y
En posant comme précédemment
et en désignant par B un nombre compris entre o et i, la formule (i) devient
f{x, 4- h) -~f(x,) r (^o-h eh)
F{xo-+-h) — F(d?o) ~" F'(d?o-4- e/i) '
Puisque X peut être plus grand ou plus petit que Xq (634), h peut être une quantité positive ou négative.
Les démonstrations précédentes sont dues à M. Ossiati Bonnet.
Db C. — Cours, lU. 34
53o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
637. IV. Lorsqu'une fonction /(.a?,/?), contenant un para-mètre arbitraire />, reste continue dans un intervalle donné et tend vers zéro, quelle que soit la valeur de x dans cet intervalle, lorsqu'on fait tendre p vers une valeur particulière poy toutes les dérivées def{Xyp)par rapport à x tendent aussi vers zéro, dans le même intervalle ^ lorsqu'on fait tendre p vers Pq.
En effet, on a (6315^), pour toutes les valeurs de a? et de A compatibles avec Tintervaile donné,
f{x -h h, p) —f{x,p) = hf'ix.-h ek,p).
Par hypothèse, les deux termes du premier membre de cette relation deviennent nuls pour/> =:/?o. On a donc, quelles que soient les valeurs de x et de h, sous la réserve indiquée,
f'{x-heh,p,) = o
ou, en faisant A = o.
On déduit évidemment de ce résultat que /'(^,/>o) est aussi nulle, quelle que soit la valeur de x choisie dans Tintervalle, et, de proche en proche, qu'il en est de même, d'une manière générale, de/f"^(^,/?o)-
La fonction donnée de x pourrait renfermer plusieurs paramètres variables, et s'annuler pour des valeurs particulières de ces paramètres. La conclusion serait encore la même.
