Nous avons défini la différentielle de la fonction
(1) 7=/(^) par la formule (5W)
(2) dY=^f'{x)dx,
Dans cette formule, dx désigne l'accroissement arbitraire
532 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
donné à la variable indépendante x. Jusqu'à présent, nous n'avons fait aucune hypothèse sur la valeur de cet accroissement. Nous allons maintenant le regarder comme constant, c'est-à-dire comme indépendant des valeurs attribuées à a; et de la série des opérations effectuées.
Si Ton différentie Téquation (2) dans celte hypothèse» il vient
ddy = dxdf\x)—.dxlJ'{x)dx'\=f''{x)dx^y
en indiquant le carré de dx par la notation dx^.
Le premier membre ddy de la relation obtenue est la dijférentielle deuxième de y ou la dijférentielle du deuxième ordre de la fonction. On la représente par la notation d*^,
de sorte qu'on a
d^y^/"{x)dxK
En différenliant encore les deux membres de cette nouvelle égalité, on a
dd}yz:zdx'-d/"(x):=zdx^[/"'{x)dx^z^f'{x)da^
ou
d^yz=:if''{x)dx^.
En poursuivant, on obtiendra une suite de différentielles
dy, d}y, d}y, ..., cf"/, ...,
dont chacune est la différentielle de la précédente. La différentielle d'^ y est la différentielle du n"'"^^ ordre ou, simplement, la /i'*'"« différentielle de/ ou de /(a:), et l'on a, d'une manière générale,
(3) d''y—f''){x)dx'*' et ^=/«)(x).
La /i'*'»^ dérivée de/{x) est donc égale à sa /i"'"* différentielle divisée par la n»*'«* puissance de la différentielle constante de la variable indépendante.
On peut, par suite, mettre encore la relation (3) sous la forme
Si l'on prend dx comme infiniment petit principal ou comme infiniment petit du premier ordre (515, 516), on voit que d\v est, en général, un infiniment petit du /i'^*«< ordre.
ALGEBKE SUPÉRIEURE. 533
Celle correspondance entre d^y el dx'^ dans le premier membre de la formule (3) esl nécessaire. Si ces deux infiniment pelits étaient d'ordres dififérents,/^'»^(^) serait constamment nulle ou infinie (520) el ne serait plus une fonction de an.
Le rapprochement indiqué précédemment entre la dérivée et la différentielle d'une fonction (Wt) se poursuit quand on considère les dérivées et les difTérentielles des divers ordres.
640. Il n'est pas inutile de remarquer que les résultats seraient tout autres, si Ton ne regardait plus dx comme une constante, mais comme une variable ayant ses difTérentielles successives dx, d^x, d^Xy
Pour le montrer, reprenons la formule
dy=/'{x)dx.
La difTérentiation des deux membres, dans Thypothèse où dx varie, donne •
d^y z= d[f' (x)dx]=f'' {x)d!r^ -hf (x)d'-x.
En effet, on a à différentier dans le second membre un produit de deux facteurs variables. La différentielle du premier facteur /'(^) est /'{x)dxy qu'il faut multiplier par l'autre facteur dx,- et la différentielle du second facteur dx esid^x qu'il faut multiplier par l'autre facteur/' (a?).
Nous n'insisterons pas sur ce point ni sur les nouvelles formules qui représentent alors les différentielles successives de r.
EXEMPLES
641. Nous allons donner quelques exemples de différentielles ou de dérivées des divers ordres.
i* Soit la fonction
On a
djc^
= m(m — i)(//i — 2)jo'
et, en général,
Si m esl entier, on parvient à
Cette m*^* dérivée est une constante, et les dérivées suivantes sont toutes nulles.
2' Soit la fonction
On a, en prenant les logarithmes dans le système népérien,
et, en général,
Si Ton suppose a = ^, /a = /« = i, et Ton a
dy d^f d}y d'*Y
dx dx^ dx^ ' dx»
3* Soit la fonction
y = log.r.
On a
dr lofff? . ,
2^5 =--i-^»log^, ;;^ =i.a.a:-Mogi?,
^ =(— 1)«-». 1.2.3... (/i — Ox-»log^.
4** «So// la fonction
y = sinx.
On a
dy d*r . d^y d^r .
Les dérivées de sinx reprennent donc périodiquement et indéfiniment les quatre valeurs
cosx, — sinx, — cosjr, sina:.
On trouverait, de même, que les dérivées de cosx reprennent périodiquement et indéfiniment les quatre valeurs
— sin X, — cosx, sin J7, cosx.
5® Soit la fonction
y = 8in(j: -+-«),
où a est une constante.
On a ( Trigon,y 32)
-^ = cos(a: -h « ) — sin f — h x -h a j — sin ( x H h a j .
La dérivée de j s'obtient donc, dans ce cas, en ajoutant le quadrant k la constante a. Il en résulte évidemment, d'une manière générale,
É?'»8in(.r -i-a) Pour a = o, on a donc
= siu.1 jo -h n — ha).
^=:8m.r et -^ = s,n^x-f-/i-j;
et, pour û = - > on a
et
rf'*cos.r
jr =z8in(jc -\- - j = cosx
'*cos.r . / ir Tc\ / tz\
, ^ = sm ( j: H- /l - H 1 = COS I X -+-//- l .
Nous terminerons ces exemples par la recherche de la formule remarquable qui fait connaître la n»*™« dérivée d'un produit.
Expression de la /i*'*^ dérivée d'un produit.
6tô. Considérons le produit us^ des deux fonctions u et v. Nous aurons d*abord (570)
d{uç) := ^^du -h u di> ; puis (568)
d^{us^)^=d{vdu)-\-d{udv)
=z{vd*u-hdçdu) H- (dvdu-h ud^v)
ou
d}[uv)=: vd^ u-h 2dvdu-h ud*ç.
De même, en différentiant de nouveau, on trouve
d*(^uv)zz=:d(y d^u)-^d{idvdu) '+-d(ud*i*) =z{vd*u-\-dvd*u)
-h (2 dv d* u -h 2 d^vdu) + {d^vdu -hud^v)
ou
d*(uv) = vd^u -\-'idvd^U'\-Zdrv du -^ ud^v.
On voit que, dans ces formules, l'ordre des différentielles de u diminue d'une unité, tandis que celui des différentielles de V augmente d'une unité, lorsqu'on passe d'un terme au suivant, de sorte que la somme de ces deux ordres demeure constante et égale à Tordre de la différentielle du produit uk\ De plus, les coefficients numériques des différents termes reproduisent ceux du développement du binôme pour un exposant égal à l'ordre de cette différentielle.
L'analogie conduit donc à penser que l'on a, d'une manière générale,
d"^(uv) z=:v d'^u-\ dvd"'-^u -h — — — -? rf* r rf'"-' a 4-...
m{m — \).,Am — /i4-i) ,„ ,„ . ,.
H ^^ —^ ^cf"p<i'«-*«-h...H- ud'^v,
Ce résultat ayant été vérifié pour /n = i, 2, 3, il suffît, pour prouver sa généralité, d'établir, suivant Tusage, que, s'il est vrai pour l'ordre m, il subsiste encore pour l'ordre m + i. C'est ce dont on s'assure immédiatement en différentiant la formule ci-dessus, où les termes du second membre représentent tous un produit de deux facteurs variables.
