ALGÈBRE

SUVÉRIEÛRE.

Étant donnée ta

fonction

er

dxdxdz On a immédiatement

du d^u

dxdjr d^u

= e^y^ -h x)-z e^y^ H- 2 jr^3 e'/» -4- ^••/* z« ^ *>-

5" JppUquer le théorème des fonctions homogènes à la fonction

u =(j:-i-j-h3)»— (J:-^^r — 2)'— (x — X -hzY — (j-f-s — or)*.

Ce théorème consiste ici (580) dans Fidentité

, . du du du ^

ax dy dz

Remarquons que la fonction u ne change pas quand on y permute x et X ou quand on y permute r et ::: sans toucher aux signes. En effet, on a, dans le premier cas,

et. dans le second,

n en résulte qu'on pourra passer de ^ à ^ en permutant x qi y et,

de -j- à -t;> en permutant > et z. Il suffit donc de calculer -,-' Or on a évidemment

^ = 3(j;-f-j-^3)*-3(x-+-j— i;)»-3(jr-j-^z)*-h3(j-+-2— .r)*, c'est-à-dire

(X* -h ^* -h z* -H 2.l^- — X* — j* — z* — ijcy

du 1 — x^ — y^ — z* — ijcy -\- 'Àxz -\- liTZ \

A*^ j — ±* — /* — z* -+- 2,rr — a-rz -4- 2 rz i

-f-a:*-+-/'-t- z' — 2J*>- — îxz 'r-2j^z '

S5o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Par suite,

du ^ du ,

^=-24x5 et ^=^4aer.

En substituant, dans Téquation (i), il vient donc

240;;^ '2 -h a4-^5 -f- 'iixj'z = 3«.

Ou doit, par conséquent, obtenir, toute réduction faite,

el c'est^ce qu'il est facile de vérifier. 6** Étant donnée la fonction

démontrer que l'expression

est égale à zéro.

.<£*« d^u ^d^u dr^ ^ dxdy -^ dy^

On a successivement

du X

d^u /jr*-+-j« j*

du y

rf*« ^x^-hX* x^

^.r v^jtM .;«

rf,..^ x.H-r' (^,^,,,1

— xr

rf*tf

En substituant ces valeurs dans Texpression indiquée, on trouve bien

Différentielle totale d'une fonction de pladenra variables

indépendantes.