Soit la fonction

des deux variables indépendantes x eiy; u est continue dans un intervalle donné, lorsque, les valeurs de Tune des varia-

blcs élant fixées, u est une fonction continue de l'autre variable.

Nous avons démontré précédemment (566) la relation suivante

(i) Aa= -.— Ad- -H -j-Ar-hci),

^ ' dx dy -^

dans laquelle &> est une quantité inflniment petite par rapport à Ax, ^y, Au, quand A^ et A/ tendent ensemble vers zéro.

La somme des deux premiers termes du second membre de la relation (i) est donc égale à la différence totale A^/, sauf une quantité infiniment petite par rapport à cette différence.

On a été conduit, par analogie, à donner le nom de différjcnlielle totale de w à l'expression

où dx et dy sont des quantités indéterminées et indépendantes qu'on appelle les différentielles de x et de y.

Loi*squ'on regarde ces différentielles comme les accroissements infiniment petits donnés à or et à /, l'expression proposée peut être considérée comme l'accroissement total correspondant du de la fonction e/, sauf une quantité infiniment petite par rapport à du^ et l'on a

(a) du=: -r-dx -h -7 dy.

dx dy *

Dans la formule (2), il faut avoir soin de ne pas confondre les du du second membre avec le du du premier. Pour cela, il suffit de ne pas supprimer les facteurs communs dx et dy.

On pourrait aussi, pour éviter toute ambiguïté, adopter la notation très simple

du = -,- dx -{- — dy dx dy •

ou encore

du =: djp u -ï- dy u,

puisque "jr ^^ ^^ -j- ^y représentent les différentielles par-

tielles de u par rapport aux variables x et /, comme ^ et

-7- représentent ses dérivées partielles.

55?. ALGÈBRE SUPÉRtrtrilE.

Quoi qu'il en soil, ces oonsidérations pouvant s'appliquer à une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes, comme la relation (i) elle-même, on peut dire, d'une manière générale, que la différentielle totale d une fonction de plusieurs variables indépendantes est toujours égale à la somme des différentielles partielles de la fonction^ prises par rapport à chaque 'variaUe,,

Si l'on «a

on a au96i

, du , du , du - du .

du^=i -r-djc -\ — r- a K H- -r- «-5 H- ... -4- -7- dt. dx dy ^ dz dt

656. Comme pour les fonctions d'une seule variable, si une fonction de plusieurs variables indépendantes est constante dans un intervalle donné , sa différentielle totale est constant" ment nulle dans cet intervalle ; et réciproquement.

En effel, si u se réduit à une constante, les dérivées partielles T-i -r y -^ •* •••> -T-> sont toutes nulles, et il en résulte dx dy dz dt

du ==: o.

Réciproquement, si l'on a du=zo dans un certain intervalle, on a aussi, dans cet intervalle,

du , du . du j du .

-j- a.r -f- -- rfK H*- -7- «^ -f- - . . -H -77 a/ = o. dx dy * dz dt

Puisque dx^ dy, dz, . . ., dt, sont des quantités indéterminées, on a alors, séparément,

du du du d»

Ces conditions montrent, successivement, que u est indépendant ûe X, yy z, . . ., t, on de toutes les variables. On a donc nécessairement u nr const.

657. Comme pour les fonctions d'une seule variable, si, pour les valeurs des variables indépendantes x, y^ z, ...,/, comprises respectivement entre certaines limites, deux fonctions u et V ne diffèrent que par une constante, leurs d^fférentielles totales sont égales entre ces mêmes limites ; et, réciproquement, si les deux fonctions remplissent celte dernière condition, elles ne peuvent différer que par une constante.

ALCÈBIU*: SrPKlUKUlVF. 553

En eiïet, si Ton a

u — i'^iconst.,

il en résulte (656)

d{u — ç):=zo, du — dv "-, o, du r= dv.

Et, réciproquement, si l'on a

du = é/i», il en résulte

du — dv - o, d( u — r ) -^ o, u — ç-=z consi .

DifTérôntidlleB totales des divers ordres d'une fonction de plusieurs variables indépendantes.

658. Il nous reste à considérer les différentielles totales des divers ordres de la fonction u.

Si du est la différentielle totale de u, nous désignerons par d^u la différentielle totale ddu de du, p^ivd^u la différentielle totale dd^u de d*u^ elc. Dans la suite

u, du, d* Uj d^u^ ..., «/'*£/, ....

chaque terme exprime ainsi, à partir du second, la différentielle totale du terme précédent.

Ces différentielles sont les différenlielles totales du premier ordre, du deuxième ordre, . . . , du /i'*™* ordre, . . . , de la fonction u.

Cela posé, considérons cette Ibis trois variables, et prenons

Nous auvons cl*abord (6.H9)

, du , du , du , au z=i -r- dx -\ — 7- dy -\ — r- dz.

dœ dy ^ dz

Cherchons la différentielle totale c/^f/. Elle sera égale à la somme des différentielles totales de chacun des termes du seoond membre. Il viendra donc, par exemple, pour le pi^->mler terme de ce second membre»

jdu , ,du , jdu j

, a -j- dx d -7- dx d -y-^dx

.ai* , dx , dx , dx .

d -r-dx=^ — dv -1 -j dy H -, as,

dx dx dy ^ dz

c*esl-à-dire

jdu j d^u . . (Pu . , cPu , ,

a -r— ajc z=L -j— - rfjT» -H - — —dxdv -+- -i — r- dxdz, dx dx^ dxdv dxdz

En faisant de même pour les autres termes et en se rappelant le théorème général relatif à Tordre des difîérentiations (652), ainsi que la constance des différentielles dlr, dy, dz (651), on trouvera évidemment

cru^=^ -i— - dx* -h -j — r- dxdy -H -= — i- dxdz

dx* dxdy " dxdz

-h -y— -r- dxdz -+- ■ ■ dydz -+- -j-i dz* dxdz dydz ^ dz*

ou

d* u zTz —-dx*-^ r-T dy- -h --=-r dz* dx* dy* -^ dz*

-\- 2 —. — 7- dx dy -h 2 -; — T dxdz -h a -j — -,- dydz. dxdy ^ dxdz dydz "

On voit qu'on obtiendra d*u en multipliant c/i/ par ^« ou en élevant du au carré, à la condition de remplacer partout dans le développement {du)* par d*u. On a ainsi la formule symbolique

d* u =: { ^dx -\- '^ dy -h ^ dzj = (d^u -hdyU -h d^u)*.

(du , du , du

Cette môme loi se poursuivra pour la formation de e^w, etc. On peut donc écrire finalement la formule générale symbolique

d'»u^=il—dx-\- -r- dy -\- -7- dzj ■= {dx u-\- dyU-h </-«)'"»

où Ton devra toujours remplacer dans le développement du second membre {du)"^ par d'^Uy en laissant invariables les puissances de dxy dy^ dz, ou celles des indices Xy y, z.

On prouvera la généralité de la formule, en montrant que. si elle est vraie pour Tordre m, elle Test encore pour Tordre

659. Comparons la différentielle totale d'^u k la différence totale A*"!/.

Reprenons la formule connue (655, 566), en la supposant appliquée au cas de trois variables

. du . du . du .

Nous savons que g) est infîniment petit par rapport à A;r, Aj, A2, Au, quand Ao?, Aj et A^ tendent vers zéro.

Pour calculer A'w, il faut calculer l'accroissement du second membre quand on donne à x, à r età z, les mêmes accroissements Aj?, A/, A5, que précédemment.

Rappelons que &> se compose de trois parties : une première partie qui, divisée par Ax, s'annule encore pour Aj? = o, ainsi que ses dérivées (637); une deuxième partie qui, divisée par A/, comprend des termes s'annulant, les uns pour A^-- o, les autres pour Aj'^: o, et dont les dérivées, par conséquent, s'annulent toutes pour Aj; ~ o et Aj = o ; une troisième partie qui, divisée par A^, comprend des termes s'annulant, les uns pour Aa? = o, les autres pour A/ — o, les derniers pour As = o, et dont les dérivées, par conséquent, s'annulent toutes pour Aj:=-o, A/=::o et As =: o. L'accroissement de w sera donc (520) infiniment petit relativen^ent à Aj?*, A^Ar, A/*, Aj^A^^, A/Ar, Ax;*.

D'autre part, d'après la formule (1), on a

A-j- A^ = -i— ; A^* -4- j—j- A^ Ar -h -= — -r- Ax As h- w,, dûc dx* dxdy ^ dxdz

^du . d'^u . . d}u . ^ ^"aa

A T- Av =: -I — }- Ao; Ar -\- -y-r Ar' 4- ->— j- Av A<s 4- w,,

dy ^ dxdv ^ dy* ^ dvdz ^

^ du . d}u . . d^u . j, d^u . .

à-j- àz = -j—-r Aar As 4- , , AjA-s -^ -j-z ùiz^ -h w,, dz dxdz dydz ^ dz^

a>t, (k)x, (Os étant des quantités infiniment petites par rapport aux carrés et aux produits deux à deux des accroissements Aj:, A/, As, comme l'accroissement de w lui-même.

On peut donc, en désignant par C, ce dernier accroissement, augmenté de a)|+ &>)+ 0)3, et en réunissant les résultats précé^eniSy éoxïvQ symboliquement

5S6 ALGÈBRE SUPÉRIEtJnfi.

^1 étant înflniment petit relativement aux carrés et aux produits deux à deux des accroissements.

En continuant de la môme manière, on parviendra à la formule générale

étant entendu que, dans le développement du second membre, les puissances de du seules seront remplacées par les diférentiellcB de même ordre» et que ^^-i ^st une quantité infiniment petite par rapport au produit de m facteurs Ao;, àj ou A:;.

Comme on peut faire tendre A^r, Aj', As vers zéro, en posant ^x rdjc, Ay=zdj', ^z=zdzy la différentielle totale d'ordre m d'une fonction d*un nombre quelconque de variables indépendantes ne dijfère de la différence correspondante de même ordre, que d'une quantité infiniment petite par rapport à cette différence elle-même.

La substitution ded^'^u à A'" a sera donc permise, toutes les fois qu'il s'agira de la recherche d*une limite de somme ou de rapport (530).

EXEMPLES

660. I* Chercher la différentielle totale du pfrmier ordre de la fonction

On a

Par suite,

u ^ /tang

du:

du , du ,

du

djc

du