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ALGÈBIIK SUPÉniEURE. 557
a* Chercher la différentielle totale du deuxième ordre de la foridion
On a d'abord
du du
dx -^ ^ dy . »
c'est-à-dire
du^am a:"»->^««£r -f- n x*»^»-* dy.
On a ensuite D*aiUeurs,
ftir suite, d*u = x'"-*j''*-'[w(/n — i)x*dx*-\- ^mnxjrdxdy -\- n{n — i).r*rf^*].
3* Chercher la difft^ntielle totale du troisième ordre de la fonction
On a d'abord
ilu du du
dx = "' rfr = "-^ ' dz = **•
11 en résulte
On a ensuite
rf«a __ d^u __ <£*« d*u __ <fttf c^*a
aï5 ""'-'' ^~^* 3i«""^' ££r4r""^' Z^"^ Wdi""^'
Par suite,
^4 ^Tjt <^^ étant des constantes, <;{*« et toutes le* autrea dîfrérantialles tptades successives sont nulles.
4** Chercher la différentielle totale du quatriènte ordre de la fonct'um
U ^ .VYZ.
On a successivement
du
djc ^-^'^
du du
— XZ^ -j ^
df ' dz
du ^jfzdx-^xzdj H- xydz^
d^u cUd)
d^u d^u ^' dxdz '^' drdz ""'
d^u = %(zdxdj ~jdxdz-+-xdjrdz).
On a ensuite
., /dfi j du j du y \*
'''""( Si''" 'ir/^'^dz^)'
'3^'"''' ••' di:Ûir~''' "' dxdjrdz ""'•
[1 en résulte immédiatement, d'après la loi de formation du cube d'un polynôme (309),
d^u = 6dxdj'dz»
(Lr, djr^ dz étant des constantes, d^u et toutes les autres difTérenlielles totales successives sont nulles.
Dififérentielles totales des divers ordres d'une fonction compesée de fonctions de plusieurs variables indépendantes.
661. Il peut arriver que les variables qui entrent dans la fonction considérée soient elles-mômes des fonctions d'autres variables indépendantes.
Supposons, par exemple, qu'on ait
a -/(i>,iv),
ç et w étant elles-mêmes des fonctions de certaines vaiiables indépendantes ic et j.
Il est facile de voir d'abord qu'on a
, du , du .
au ^^ -T- dv -\ — ,— dw.
ai' dw
comme si r et w étaient des variables indépendantes.
En effet, si Ton remplace t^ et w par leurs valeurs en fonction de X et de /, on a l'expression de u en fonction de ces
ALGÈBRE SUPÉRIEUHE. 55()
mêmes variableà et, d'après ce qui précède (655), on peut
alors poser
, du , du , du zni -j- djc -h -j- dy.
' dœ dy «^
> Ot -7- dx est la différentielle partielle de u regardée
comme fonction de la seule variable a; dont dépendent v et w. On aura donc, d'après la règle de différentiation des fonctions, composées de fonctions d'une seule variable indé-^ pendante (567),
au - au f dv , \ du / dsv , \
du ^ du / dv
dœ dv \dx
et| de même,
du , du ( dv , \ du ( dw , '
En ajoutant ces deux résultats, on trouve pour valeur de du
, du f dv. - d{f , \ du fdiv , dsv . \
dv \dx dy " ) dw\dx "/ /
Or les quantités entre parenthèses, qui multiplient les dérivées partielles ^ et ^> sont précisément (655) les valeurs
des différentielles dv et dw quand on considère s^ et w comme des fonctions de x et de y. On a donc bien
(i) du^=z ~j~ <fi' -h -y^dvv,
^ ' . ai' dw
Cette démonstration, qu'on étend facilement à un nombre quelconque de fonctions dépendantes et de variables indépendantes, prouve que la différentielle totale du premier ordre de u ne change pas de forme, que les variables c et w dont cette fonction dépend explicitement soient ou non indé-^ pendantes.
On voit de plus par là, puisque le théorème des fonctions composées se trouve ainsi généralisé, que les règles de différentiation relatives aux sommes, aux produits, aux quotients et aux puissances des fonctions d'une seule variable, subsistent pour les fonctions de plusieurs variables, dépendantes ou indépendantes (579).
56o ALGÎSQRB SUPÉRIECJIIE.
662. Mais il faut bien remarquer que lea différeotieUes totales des autres ordres de la fonction u changent dç forme, parce que les facteurs dsf et dw qui remplacent dx et djr daos l'expression de la différentielle totale du premier ordre ne sont plus constants.
Ainsi, en dififérentiant les deux membres de l'équation (i) [661], on aura, puisque les règles de différeiHiatioa des sommes et des produits sont applicables et (|U0 i' et w son! des fonctions de x et de 7»
En appliquant toujours la formule (i), puisque ^ ^ T~ sont des fonctions de s^ et de w^ on a
= ^''*'-^ra;''"'
(du\ d^u \d^)~d^
fdu\d*-u \dw) dw^
dsv dç
En substituait ces valeurs dans la relation (2)» on trouva
a^u^^ -j-r at»' H- 2 ■ ■ af dw -+- -=— j aw' ai'* dv dw dw
du ^ du ^ ac aw
ou, si Ton veut, en employant la forme symbolique pour les trois premiers termes,
^ du^ 4n ^ ap ihf^
En comparant avec le résultat obteiHi au u*" 658k on voit
qu'il s'introduit ici deux nouveaux termes -r-^^t -7-d*w, et
qii!il restera à calculer d^p et âf'f^ enr fcmctiQn.cle&variaJUes indépendantes a: et j^ et de. leurs dUIérentieliefti
663L On pourrait continuer de mém^ ppuc ci^kuler (P^ d^u, .... Mais les calculs se complique^i et», nu. delà de ^«,
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 56 1
les résultats ne sont guère utiles dans les applications ordinaires.
Le plus souvent, il est préférable de chercher séparément et directement les différentes dérivées partielles qui doivent entrer dans les différentielles totales qu'on a à former, ce qui ramène au cas des fonctions d'une seule variable.
Veut-on, par exemple, calculer la dérivée partielle
on différentie la fonction
n fois par rapport à la variable indépendante Xy ce qui donne
dx^'
puis on différentie ce premier résultat p fois par rapport à la variable indépendante /, ce qui conduit à
dx'^ dyp
664. 11 est important de signaler un cas particulier i v eiw peuvent être des fonctions linéaires des variables indépendantes X et 7, c'est-à-dire des fonctions de la forme
{f — . a ~h b X -T- cy\ w =z a' -r- b' X -+- c'y»
dv et dw sont alors des quantités constantes quelles que soient les valeurs de x et de /, pourvu qu'on prenne comme à l'ordinaire dx et dy constants. Toutes les différentielles de i' et de if sont, par suite, nulles à partir de d}v ex de ûPtv, et l'on retombe nécessairement sur la formule symbolique
fdu , du , \'"
qui s'étend à un nombre quelconque de fonctions linéaires dépendantes.
Di C— Cours, ni. 36
665. Reprenons les formules des n<»' 661 et 662, c'est-à-dire
(,) du^^d.+ ^d^,
„ cPu.. dru , , cPu j ,
ap* dv dw dw*
^ du ^ du -^
dç dw
On désigne souvent par une seule lettre chacune des dérivées partielles du premier et du deuxième ordre, et Ton
pose
du du __
di> ''^' dw ""^'
dv* * dvdw ~ ' dw*
Les équations (i) et (2) deviennent ainsi
{i bis) du -~p dv 4- q dw^
(2 bis) dru^=z rdv*-\- isdvdw -h tdw* -hpd*v -^ qd*w.
Les mêmes formules s'appliquent au cas où i' et h' se trouvent remplacées par les variables indépendantes j; et ^ et la fonction u par la fonction ;:. On a alors, dx et dy étant supposés constants, c'est-à-dire d*x el d}y étant nuls,
(i ter) dz -- pd,r-h q dy,
(2 ter ) d*z—.r dx* -\- 2sdx dy -t- 1 dy*.
666. Admettons enfin que r et (v soient fonctions d'une seule variable indépendante x. Il en sera de même de u, et l'on aura
dv ^ -r-dx. dw =:^ -j—dx, du ^=z -=- dx.
dx dx dx
"^ ' '--■ ^' ''"* ' '^ «^ = à:^ ^-^ ' '^ « = 5iî '^ •
En substituant dans les formules (i bis) et (26») du numéro précédent et en divisant, la première par dx et la seconde par dx*^ on a d'abord
du dv dw
dx ~~ ^ dx "^ ' dti '
ce qui est Texpression du théorème des fonctions composées; cty ensuite,
dx^ \dx ) dœ dx \dx j ^ dx^ * dx^'
Différentielles des diTers ordres des fonctions implicites.
667. Considérons d'abord le cas d'une fonction y de la variable indépendante x^ définie par Téquation
Il s'agit de trouver les différentielles successives de y.
y étant une fonction de x, /{x^y) est une fonction cornposée, de valeur constante zéro; et, par suite (656), ses différentielles de tous les ordres sont aussi nulles. En regardant dx comme une constante, d'où il résulte
drXzzzd^Xzzi, . .mo,
on n'a donc qu'à égaler à zéro les différentielles successives du premier membre de l'équation (i). En se reportant au Q* 662 et en remarquant que les différentes dérivées partielles sont des fondions de x et de /, il faut observer avec soin que chaque terme des équations considérées doit être différentié par rapport à x et. par rapport à y^ dx étant constant, mais non dy.
On trouve d'abord (567, 623)
df ^ df ^ <^) ^^^-^^^^^^'
d'où l'on déduira dy.
Il vient ensuite
car le second terme de l'expression qu'on différentié eàt un
df produit composé des deux facteurs variables ^ Qi dy; et, de
cette deuxième relation, on déduira d^ v.
564 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
£n poursuivant de même, on a encore
+ Hsj^ ''" "^ 5^ '^^j '^•^ ^ ^ '^^^ = •'•
et, de cette troisième relation, on déduira d^y, etc.
On pourrait simplifier l'écrilure en réunissant sous la forme symbolique (658) les irois premiers termes de la formule (3) et les quatre premiers termes de la formule (4).
Les formules indiquées feront connaître successivement
les différentielles dy^ d^y, d*y, ..., et, par suite, les déri-
, dv d'Y d^y
vées correspondantes ~ -> ^^> -7-^» —
