Soit encore Téquation
X et y étant choisies comme variables indépendantes et dx et dy étant supposés constants, z sera une fonction implicite de ces variables. Le même principe (667) peroiet de poser, pour la différentielle totale de la fonction/.
d^où Ton tirera dz différentielle totale de z, en fonction de ^, y, z, dx, dy.
De même, la différentielle totale du premier ordre de la fonction / étant nulle, la différentielle totale du deuxième ordre le sera aussi; et, en différentiant le premier membre de la relation (1), on aura, en employant immédiatement la forme symbolique (658),
équation d'où Ton tirera d^z en fonction de x, y, -3, dx, dy, puisque dz est connue.
Remarquons, en effet, de nouveau, que les dérivées pardf dl df
dy chaque terme de la relation (i) doit être différentié par rap-
tielles ^i ^i H^j sont des fonctions de x, y, z, et que clx cty dz
ALGÈBRE SUPÉniEURE. 565
port à x^ par rapport à y et par rapport à z, dx et dy étant constants, mais non dz.
On différentiera le premier membre de Téquation (2) pour trouver rf*j, etc.
669. Au lieu de calculer les différentielles totales, on pourrait chercher comme il suit les différentes dérivées partielles qui y entrent.
Reprenons Téquation
<i) f{xyy,z) = Q.
Posons, comme nous l'avons indiqué (665),
dz dz
di^^' ^""^* Il viendra (655)
dz z=. -7- dx + ~ dy z^ipdx -h q dy.
Nous poserons de môme (665)
dx^ ' dxdy dy
de sorte que nous aurons (658), dx et dy étant constants,
d}z^=i -j-^dx*-h 2-ï — ^dxdy-\- -y-^dy^ dx^ dxdy " dy* ^
ou
d}z^=zr dx^ -\- isdxdy -\- t dy^ ;
et ainsi de suite.
On voit que la question est ramenée, pour obtenir dz et rf'>3, à trouver/?, ^, r, 5, t.
Pour avoir p et ^, on différentiera l'équation (i) en y regardant successivement comme seule variable x Qi y dont z est une fonction. On aura ainsi (567), en divisant respectivement les deux résultats par dx et par dy^
dx dz dx ' dy dz dv '
c'est-à-dire
(3) ^^pJ^o et ^-f-7-f =0,
dx '^ dz dy ^ dz
566 ALGÊBKE SUPÉRIEURE*
d'où l'on déduit
dx dy
P = -^ et ç = -^-
dz dz
Pour avoir ensuite r, Sy i, on différenliera de nouveau ei dans les mêmes conditions les équations (2) par rapporl à x^ puis par rapport à y. Comme la difTérentiation de la première de ces équations par rapport à y conduit à la même expression que la difTérentiation de la seconde par rapport à x, nous n'aurons que trois équations distinctes qui seront, en divisant encore respectivement les résultats trouvés par dx et par dfy
(î^f d\f dz , d\f dz , d\ffdzy df d'z
dx* dx dz dx ^ dzdx dx ' dz* \d^/ ^^ d^^
'^'f ^'/- ^ t J^^'f- ^ ^dz dz^ df d}z
dx dy dx dz dy ' dz dy dx dz* dy dx dz dx dy
d'f d'f dz d*f dz d*f(dz\* dfd*z
dy* dvdz dy dzdy dy dz*\dy/ dz dy*
c'est-à-dire
d--/ d'f ,rfy df
,,^ j d'f d*f d*f d*f df
d*f d*f ,d*f df
.ly* '^^'^d^Tz-^^di -^' Tz'^'''
p et q étant déterminées, les équations (3) donneront successivement et sans élimination les dérivées partielles du deuxième ordre r, 5, t.
On pourra continuer de la même manière en diiïérentiant les équations (3).
Il est utile de remarquer qu*on a (567)
