i" Soit V équation
oh z est regardée comme une fonction de x et de y et où a est une constante. On demande de calcuier dz et d^z.
En employant les formules du n*" 669, nous aurons
dz =pdx-+' qdy^ (fiz = rdx^-\-^sdxdy -+- tdy^.
Il viendra successivement
df
dz
df
dr ^-' df
dz
Nous aurons ensuite
rf«/ d\f d^f dv^ ~ rf>« ~ dz^ ^'
dxdy ^ dxdz ~
dydz
Les équations (3) du n** 669 deviendront donc, en divisant par 2 les doux membres de chacune d'elles,
i^pi^- rz = o,
pq -+- sz = o,
i-h q*-.- tz = o,
et Ton en déduira, en faisant intervenir Téquation donnée,
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. ijGg
On trouvera finalement, d'après ces valeurs,
2* Soient les deux équations
oùj et z sont des fonctions implicites delà variable indépendante x ç/ oà k et a sont des constantes. On demande de déterminer df et dz, d^jr et d*z.
En opérant directement et en diiférenliant une première fois les deux
équations, on a
dx -r- djr -{- dz = o^
xdx-\-ydr -i- zdz = o.
En résolvant ces deux équations du premier degré en dv ol en dz^ on trouve facilement
, zdx — xdx , xd:c — ydx dr ~ -, dz = * —
et, par suite,
dr z — X dz X — y
— ■ „ ■ Il • — — • ■ i •
dx y — 3 ' dx y — z
En différentiant de nouveau les résultats précédents et en se rappelant que dx est constant, on a
d>y H- d^z — o, dx^ -h rfr' -^ dz^-^jyd^j -h srf* 5 :- o.
La première équation donne d^z = — rf*j. La deuxième devient alors, en remplaçant djr et dz par leurs valeurs,
d'où l'on conclut
— ^•^*"^" 2j'-h 2g* — 2Xjr — ^XZ — 2JZ j j
5^0 ALGÈBRE SCPÉRIEUEE.
Une transformation évidente conduit à
On a ensuite
rf»2 ^ rfar«, d ou t-^ = > ^ •
673. Il nous resterait, pour terminer ce qui constitue à proprement parler les principes du Calcul différentiel, et avant de passer à ses applications analytiques les plus usuelles, à traiter le problème du changement de variables. Mais cette question, importante surtout en Mécanique et en Physique mathématique, n*étant d'aucune utilité en Algèbre supérieure, nous la renverrons à la fin de ce Cours.
ALGKBHE Slil't^tllEU HE. D^l
