ET DE MACLAURIN

Formole de Taylor.

674. Celle formule célèbre, dont nous avons déjà trouvé l'expression finie dans le cas des polynômes entiers (324 ei suiv.), permet de développer toute fonction d'une seule variable en série ordonnée suivant les puissances de l'accroissement qu'on lui donne à partir d'une valeur fixée arbitrairement.

Cette formule n'est pas complètement générale, les conditions de convergence indispensables n'étant pas toujours satisfaites, et son emploi se trouvant ainsi restreint; mais elle n'en est pas moins d'une utilité incontestable.

Quand la fonction F(^) est supposée entière et de degré m, on obtient, pour le développement de F(^ -+- A) suivant les puissances entières et positives de l'accroissement h, la fornaule finie (324)

F(a7-+-^)rrzF(.r)-hF(^)^

Le développement du second membre s'arrête à la m'*«« dérivée, puisque les suivantes sont nulles.

Nous allons montrer que la même forme de développement, sauf les restrictions indiquées, peut s'appliquer à une fonction quelconque, pourvu qu'elle soit continue dans un certain intervalle; mais, alors, le développement du second

membre se poursuit indéfiniment, et Ton a à considérer une

série,

675, Désignons par ¥{x) une fonction quelconque de Xy finie et continue pour toutes les valeurs de la variable allant d'une valeur donnée x^k une autre valeur donnée j?© -H A rr ^,.

Supposons que la même condition soit remplie par les {n -\-i) premières dérivées de la fonction.

Nous poserons

-r- -„ t''(.^o)H 5 7 -tR-

p est un nombre entier quelconque. R est une quantité inconnue qu'il faut déterminer do manière à satisfaire à la relation (0 et qui dépend évidemment de x^ et de A.

Substituons x^^ x^^-^ h dans le premier membre de la relation (i), et mettons dans le second membre x^ — x^ à la place de h\ en réduisant ensuite ce second membre à zéro, nous aurons

Si nous substituons maintenant à j?o> dans le premier membre de Tégalité (2), excepté dans R, une valeur de la variable x comprise dans l'intervalle (xo, ^i), ce prenaier membre deviendra une fonction de x qui ne sera plus nulle. En la désignant par/(^), nous aurons

Celle fonction /(^) est continue et finie dans l'intervalle {xo,Xx)y d'après les conditions indiquées. Elle s'annule évidemmenl, d'après l'égalité (2), pour a:=z.TQ] et elle s'annule encore pour a: = x^. Puisqu'elle est continue dans l'intervalle considéré, elle admet une dérivée dans le même inlervalle; et il résulte de ce qu'on vient de dire el du théorème deRoLLE(633) que cette dérivée s'annulera nécessairemenl pour une valeur de ^ comprise entre ûc^ el j7i.

D'ailleurs, pour trouver la dérivée de /{^), nous remarquerons que F{xi) est une conslante el que, à parlir du Iroisième lerme du second membre de la relation (3), on a à prendre la dérivée d'un produit de deux fadeurs. En écrivant alors sur des lignes séparées les termes où figurent les dérivées de F(j?), F'(j?), F'iœ), ..., ceux où figurenl les dérivées de (o^i — ^), (a?! — xy, ..., el enfin la dérivée du dernier lerme où enlre R, il viendra

— H 5 li.

En simplifiant, on trouve

(4) /'(.)= l-i-^Zr i£iz^rF'-(.).

/'(^) devant s'annuler pour une valeur de x comprise entre j^o et ^1, el qu'on peut représenter par conséquent par aro-t- Bh, d étant un nombre positif compris entre o et i, nous aurons, en remplaçant x par cette valeur dans l'équation (4),

c'est-à-dire, en remellanl ^ à la place de .r, — x^ el en mul-

5'ji ALGÈBRE SUPÉKIEURE.

tipliant les deux membres de l'égalité par i .a.3. . ./i,

o- /iP{i^ By R — /i» (i ~ ô)* F"-*-» ( J^o-t- 9A), d'où

Ze terme complémentaire de l'égalité (i) devient ainsi

i.a.3. . ./i(/? H- i) ou

Aii-P(, 0)«-/'F'»-^-*(a7o4- 9A)

(6) ....a.'-rc^-..)^'-^^"""^""^"'-^''^-

En reportant cette valeur dans la même égalité et en écrivant j? à la place de x^ pour mieux marquer que la valeur de la variable prise pour point de départ est arbitraire» sous les conditions indiquées, nous obtiendrons finalement

-\ 5 F«(^)-i T^ -(i-^)»-pF«-^H^ + W

La formule (A) est la formule de Tayloh, dans le cas général.

Lorsque le terme complémentaire, c'est-à-dire le dernier terme du second membre, tend vers zéro autant qu'on veut, quand n croît indéfiniment, le second membre de la formule se change en une série convergente ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes de l'accroissement h : c'est la série de Tatloh. Le terme complémentaire devient le reste de la série, et fait connaître l'erreur commise quand on s'arrête dans la série au (/i i- i)i*«« terme.