I .2.3. . ./i(/n- 1) et remarquons que le premier facteur

tend toujours vers zéro, qnand n croit indéfiniment. En effet, lorsque n + 1 a dépassé la valeur de A et que Ton continue à faire croître n, on doit multiplier l'expression précédente

par les fractions proprement dites > — — x > • • •> qui de-

viennent de plus en plus petites. Lors môme qu'elles seraient toutes égales à la première, on sait que leur produit aurait pour limite zéro (478). Il en sera donc de même a for-

OnÔ ALGEBRE SUPÉRIEURE.

tiorî du premier facteur du reste, et ce reste tendra alors vers zéro autant qu'on voudra, si la fonction F{x) et toutes ses dérivées jusqu'à F'*-»-*(j7) demeurent continues et finies entre ar et a: -{-h y lorsque n croît indéfîniment.

Dans cette hypothèse et en ne conservant que les (« -hi> premiers termes de la série, si Ton désigne par m et par M la plus petite et la plus grande valeur de F*-*"*(;r) quand jc varie de x h x -t- h, le terme complémentaire sera lui-même compris entre

mA«-»-» . MA*-»-*

et

i.2.3.../e(/iH-i) 1.2.3. ../i(n-hi)^

et Ton obtient ainsi deux limites de Terreur commise.

679. Il n'est pas inutile de faire observer que, sauf la forme du reste, la fonction V{x-hh) ne peut pas être développée, suivant les puissances croissantes de h, d'une autre manière que par la formule (A) [675]; car nous avons démontré (422) ridenlilé de deux séries convergentes ordonnées suivant les puissances entières et positives d'une même variable, lorsque leurs sommes sont égales.

680. Si, dans l'équation (A) [675], en donnant au reste la forme la plus simple (677), on fait successivement n = o et n = I , la formule de Tajlbr se réduit à ses deux ou à ses trois premiers termes, et devient successivement

F(^' -h h) rn ¥{x) -4- - F(jr -r- 6h),

On remploie souvent sous l'une de ces deux formes.

681. Si l'on pose/ = F(j?), la formule de Taylor peut s'écrire, en adoptant toujours pour le reste la forme la plus simple,

ALGÈBaE SUPÉRIEURE. 677

Mais, h étant l'accroissement constant arbitraire donné à ^, les quantités

sont précisément, par définition (639), les différentielles successives

• de la fonction y. On peut donc écrire, en désignant par

la valeur de la différentielle du {n n- !)**"• ordre, qui répond, non plus à a?, mais à une valeur de x comprise entre x et X -^ h.