i 1.2.3. ..(/jH-i

Si l'on suppose maintenant h infiniment petit et égal à dx, les termes successifs du second membre deviennent des infiniment petits (639) dont Tordre va en augmentant et, par suite, Terreur commise en s*arrêtant à un certain terme est un infiniment petit d'ordre supérieur relativement au dernier terme conservé.

On présente souvent ainsi la formule de Taylor; et, dans ce cas, les termes de la série permettent d'approcher de la valeur de F{x-hh) par une suite d'approximations dont Tordre est de plus en plus élevé. Terreur qui persiste après Taddilion de chaque terme étant infiniment petite par rapport à ce terme lui-même.

682. Il faut bien remarquer que la formule (A) [675] peut être exacte jusqu'à une certaine valeur de /i-f-i et devenir inexacte pour une valeur plus grande, parce que les dérivées qui suivent la {n h- i)i*™« dans le développement deviennent infinies pour la valeur spéciale attribuée à x. On doit alors ne poursuivre le développement que jusqu'à la /i'*"* dérivée et le compléter par le reste. Il est clair d'ailleurs que le

r>B C. — Cours. III. 37

5^8 ALGÈBRB SUPÉRIEURE.

développement peut se trouver en défaut dès le premier terme.

683. De même, il ne suffît pas que le second membre de la formule (A) soit une série convergente, pour pouvoir affirmer que la formule est exacte; car cette série peut avoir une limite différente du premier membre F (a? -h h).

Si Ton a, par exemple, F(x) i=:/(jp) -h (p(a:), et que la fonction f{a^) soit développable par la formule de Taylor pour la valeur 07 = ^0, tandis que, pour cette valeur, la fonction 9(^) demeure nulle, ainsi que toutes ses dérivées, sans être pour cela identiquement nulle, le développement de F(a:o + A) donnera précisément lieu à la série convergente qui a pour limite /(xq -h h) et non ¥{x^-h h).

L'exactitude de la série de Taylor ne peut être établie qu'en prouvant que le reste qu'il faut ajouter à la somme d'un nombre quelconque de termes de la série pour obtenir ¥{x -h h) tend vers zéro autant qu'on veut, quand le nombre des termes considérés augmente indéfîniment.

Formule de Maclaoriii.

684.. On peut, dans la formule (A) [675], permuter a: et h. On a alors, puisque le premier membre ne change pas,

Si l'on suppose maintenant A = o, il vient

(, __9)«-/'F«-*-'(eir).