I. SI. 3. ../l

On donne à ce résultat le nom de formule de Maclaitrih,

bien qu'elle ne soit, comme on le voit, qu'un cas particulier (le la formule de Taylor, et que Maclaurin lui-même, dans son Traité des Fluxions, l'atlribue à Taylor.

La série, ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de Xy qu'on obtient dans le second membre de la relation (C) quand on fait croître n indéOnimenr, a F(j?) pour limite, toutes les fois que le terme complémentaire ou le reste de la série a lui-même zéro pour limite.

Ce reste, pour n r=/>, prend la forme simple

pour/?==::o, il devient

^^«-hi

J .^lO. . • fC

Comme nous l'avons déjà observé pour la série de Taylor (679), tout développement d'une fonction ¥{x) en série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de x se confond nécessairement avec celui qui est donné par la formule de Maclaurin.

Les remarques des n""* 6S2 et 683 s'appliquent également à la série de Maclaurin.

685. Si l'on avait trouvé d'abord la formule de Maclaurin. on en aurait déduit immédiatement celle de Taylor, en considérant F (a: 4- A) comme une fonction de A et en la développant suivant la formule de Maclaurin. On obtient ainsi, en effet, puisque, lorsque l'on suppose A=odans F(a7-hA), il reste F(a7),

Y{x-^h) z:zF(a:)-f--F'(^)-h — F'(^) -h. . .; ce qui est la formule de Taylor.

Extension des formules de Taylor et de Maclaurin aux fonctions

de plusieurs variables.

686. Nous considérerons une fonction de deux variables. Le raisonnement que nous allons présenter s'étend sans difficulté au cas où la fonction proposée contient trois ou un plus grand nombre de variables.

j8o algèbre supérieure.

Nous poumons suivre la marche indiquée pour le développement des fonctions entières, dans le cas de deux variables (329).

Ainsi, prenant la fonction quelconque F( j?, j), nous commencerions par développer F (j? + /2,j), suivant les puissances de h et d'après la formule de Taylor (675), en regardant x comme seule variable. Dans le résultat obtenu, nous changerions/ en/ -h A:, et nous développerions chacun de ses coe^ Rcients d'après la même formule et suivant les puissances de A-, Nous parviendrions de cette manière au développement de ^{x -\- liy y -^ k). Mais il est préférable de suivre une autre marche due à Cauchy, et qui conduit à une expression plus simple du reste.