Remplaçons F(.r ~\- h,r h k) par

et développons cette dernière fonction suivant les puissances de t, en appliquant la formule de Maclaurin (684>). £n faisant ensuite t = i dans le résultat trouvé, nous obtiendrons évidemment le développement cherché.

11 viendra, en adoptant la forme la plus simple du reste,

F{œ-hht,y-^ kt)

(,),^ =/(0-/(o)-H^/(o)+^^Ao)-^:^37'(o)-^...

1,2.6, . .n'^ I.2.3...(/t-hl)*^

Pour calculer les termes de ce développement, nous allons chercher l'expression générale de/"'(0> et nous y ferons ensuite t=:o.

Nous avons trouvé précédemment (658), pour représenter la différentielle du m'*'"'» ordre d'une fonction de deux variables, u=:(f{x, y), l'expression symbolique

/du , du , \'«

OÙ il suffit de remplacer les exposants des puissances de du par les mêmes indices de différentiation.

Or nous pouvons poser ici

el regarder u et p comme deux variables distinctes pour lesquelles on aura

du •= hdt, dv = kdt,

en supposant de constant et en remarquant que les valeurs de a: et de j sont indépendantes de t. Il en résulte

/(O ^ F(^ 4- ht, y -h kt) = F(M, i>),

c'est-à-dire, symboliquement,

/dV d¥ \'«

Si Ton divise par di'^ les deux membres de la relation précédente, on a évidemment, en tenant compte des valeurs de du et de dçy

drnt). (dF dF

car, en divisant chaque terme de la parenthèse du second membre par dt, on le divise lui-même par rfr".

Faisons maintenant ^ = 0, ou a = j^et t^^==.r, dans les dérivées de ¥{Uy v) par rapport aux variables u et v. Ces dérivées deviendront les dérivées correspondantes deF(.r, y) par rapport à ^ et à /. On peut donc écrire

^ , , fd? , rfF A'«

en entendant toujours l'expression au sens symbolique.

La valeur de /'*■*"* (ô^), qui entre dans le terme complémentaire de l'égalité (i), s'obtiendra aussi à l'aide de la relation que nous venons d'employer. On formera l'expression

On remplacera ensuite les exposants de dF par les indices correspondants; et l'on substituera enfin à u et à ries valeurs x-^- h6t et y-^ k6t, qui deviendront 07-4- 0 A et j^ -H ô A: pour

Ce qui précède permet d'écrire symboliquement, comme il

suit, l'égalité (i), en y faisant (Tailleurs t=z i,

(D) { I /d¥ . ^F .y I fdF , d¥ N-

i.a.o \a:r aj' / i .2.0. . ./* \aa: dv J