i-t-i) \dx dy ){x=x+U, r =r+e A r

Les indices inférieurs signifîent que, après avoir régulièrement formé le dernier développement, on devra y remplacer X Qi y par x -{- Bh qI y -^Qk^ B étant une fraction positive proprement dite

Lorsque le dernier terme du second membre a pour limite zéro, quand n croît indéfiniment, Y^x-^h^y -hk) se trouve développée suivant une série convergente indéfinie.

C'est ce qui a lieu nécessairement, lorsque aucune des dérivées qui entrent dans le terme complémentaire ne peut devenir infînie par la substitution àe x -hOh et de ^ -t- 9A: à la place de x et de y. Admettons, en effet, que P soit un nombre supérieur en valeur absolue à chacune de ces dérivées. Le terme complémentaire sera alors évidemment inférieur à

et cette expression a pour limite zéro lorsque n croît indéfiniment (678).

688. Si Ton suppose que A et A: deviennent les infiniment petits dx et dy^ on a

La formule (D) [687] prend alors la forme ¥{x-^dxyy -^-dy)

d^Yi.Xyy) , [flf^-^* F(j?,7)]ta;^-erfx.r-^e<vi

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 583

la valeur de la différentielle du (/i -i-i)»*«« ordre répondant, non plus ko: elky, mais à une valeur de x comprise entre x et j? -h i/o? et à une valeur de / comprise entre 7 et 7 -f- df,

La formule (D') montre que l'expression de Taccroissement influiment petit d'une fonction de deux variables est identique à celle de Taccroissement infiniment petit d'une fonction d'une seule variable (681 ).

Si djp et dy sont infiniment petits principaux ou du premier ordre, chaque terme du développement obtenu est inGnîment petit par rapport à celui qui le précède, et l'erreur commise en s'arrêtant au terme d'ordre n est un infiniment petit d'ordre n-h i.

689. Pour étendre maintenant la formule de Maclaurin (684) aux fonctions de deux variables, il suffit de faire à la fois ar=:o et y = 0 dans la formule (D) [687]. En désignant

par ( 3~ ) M ;7~ ) > ( ^t )»•••' ce que deviennent alors les différentes dérivées, on a ainsi, en effectuant.

F(A,*) = F(o,o)-ha(^)^-hA:(|)

KKa--(a^).-(|r^).]

Comme A et A: sont complètement arbitraires, on peut les remplacer par x et par j, et il vient

^•M^hM^M^W

C'est la formule de Maclaurin étendue au cas de deux variables.

Le terme complémentaire devient

1 VdF d¥ 1 «-*-»

i.a.3...(/n-i) L^^'^~^û(/'^Ji^ea;,r=e

c'est-à-dire que, dans les différentes dérivées qui y entrent,

584 ALGÈBRE SUPÉMEDRE.

on doit remplacer x par Bx et y par ôj, 0 étant toujours un nombre indéterminé, positif et moindre que i.

690. Il ne faut pas perdre de vue que les formules de Ta^^lor et de Maclaurin ne peuvent être étendues ainsi aux fonctions de deux ou de plusieurs variables, qu'autant que la fonction proposée et toutes ses dérivées partielles restent continues et finies jusqu'à Tordre n-\-\ inclusivement, pour toutes les valeurs de ^ et de j^ comprises dans l'intervalle considéré (675).

ALGEBKE SUPÉRIEUHE. 585