APPUCATION DE LA FORMULE DE MACLAURIN A QUELQUES

DÉVELOPPEMENTS LMPORTANTS,

Développement de la formule du binôme ponr un exposant

quelconque.

691. Proposons -nous de trouver le développement de {a -h 6)'", dans le cas où Texposanl m est quelconque.

L'expression (a-f-^)*" esl alors susceptible de plusieurs valeurs, dès que m n'est pas un nombre entier, positif ou négatif (128, 129, 140, 145). Mais, si a + 6 est une quantité positive, Tune de ces valeurs est réelle et positive, et c'est la seule que nous considérerons ici.

En posant - == j?, nous écrirons et la question est ramenée à développer

Or nous avons trouvé précédemment, d'une manière générale, pour la dérivée du /i**"« ordre de a?'» (641, i<^).

Nous n'avons évidemment qu'à remplacer, dans ce résultat, X par I -+- X (564), pour avoir

F'*(a7)=i:/n(m — i)(/n— a)(m — 3). ..(m — /i-i-i)(i-4-d?) et

F*(o) =/w(m — 0('^ — 2)(/n — 3)...(/«--/n-i). II en résulte immédiatement, d'après la formule de Mac

586 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

laurin (684), et en écrivant le résultat de manière à lui donner Taspect du développement habituel (255),

m{m — i)(/w — 2). ..(m — /î-m) m{ni — i)(/n — 2)... (m — n)

j7«+i(i4-ÔJ?)

m -II— I

Quand œ est plus grand que i en valeur absolue^ la série obtenue, abstraction faite du terme complémentaire, est divergente,

£n effet, le rapport de deux termes consécutifs, tels que

mim — i)(/n — 2). ..(m — 71^-2) " I .2.3. . .(/i — i)

et

mim — i((m — 2). ..(m — «-4-i)

u„ = —^ ^^^^ ^ ^ ar«

est représenté par

Un /n — /t -h I fm -h I \

=: X = ( 1 1 or.

Ce rapport a donc pour limite -— x quand n croît indéfiniment; et, par suite, quand la valeur absolue de x est plus grande que i, la série est divergente (362).

On voit qu*«7 ne peut y avoir cons^ergence que si x est moindre que i en valeur absolue; et ce n*est que dans ce cas quMl est nécessaire de s^assurer que le reste de la série a pour limite zéro.

Supposons d'abord x compris entre o et i , c'esl-à-dire positif.

On peut mettre le reste sous la forme (lUl)

rm(m— i)(m — 2)...(m>~n)^^^^'1 f i 1

L I .2.3, . .(/l -h 1) JLl-hôJ?J

Jt-+-1— J"

La première parenthèse tend vers zéro, quand n crott indéfiniment ; car, lorsque n croît d'une unité, elle se trouve multipliée par le facteur

ALGÈBRE SUPÉRIEUKB. 58^

quantité qui, pour n assez grand, se rapproche autant qu'on veut de — :r (ce qu'on voit en divisant les deux termes de la fraction par n), c'est-à-dire devient moindre que i en valeur absolue. On a donc à considérer dans cette parenthèse, et à partir d'un certain point, une suite de facteurs dont le nombre augmente indéfiniment, qui sont plus petits que i et décroissants, et dont, par conséquent, le produit a pour limite zéro, de sorte que cette limite est aussi celle de la parenthèse (478, 340).

La seconde parenthèse est évidemment moindre que i et sa limite est zéro pour n assez grand, à moins que Ô ne tende vers zéro en même temps que n tend vers l'inQui; dans cette hypothèse, elle tend vers la limite i en restant moindre que I.

Le reste de la série a, par conséquent, zéro pour limite dans tous les cas, et cette série est convergente lorsque ûTj positif, est compris entre o et i.

Supposons maintenant x compris entre o et — i, c'està-dire négatif.

Le raisonnement précédent n'est plus applicable, parce que la seconde parenthèse indiquée dans l'expression du reste devient plus grande que i pour n assez grand et crott indéfiniment en même temps que /i, à moins que 0 ne tende simultanément vers zéro; et, alors, elle tend vers la limite i, en restant supérieure à i .

Il faut donc avoir recours à la seconde forme du reste, qui est ici (684)

\m{m — i)(m — 2). ..(m' — n) „^-lr/ ^v»/ « x», „ n — î^ ;\ ^ \ -x'^^^ [(i-^)«(i-f-6>a:)'«-»-^].

On voit, comme ci-dessus, que la première parentlièse a pour limite zéro lorsque n croît indéfiniment. Quant à la seconde parenthèse, on peut l'écrire, en remplaçant x par — -c, puisque x est négatif.

La fraction -^ est une fraction proprement dite, et sa

puissance /i»""*« tend vers zéro ou vers l'unité à mesure que n

augmente, tandis que la puissance (/n — 1)**"« de la fraclioii I — 6z demeure toujours une quantité finie.

Le resle.de la série a donc encore zéro pour limite, et cette série est aussi convergente lorsque x, négatif, est compris entre o et — i.

En résumé, pour toutes les valeurs de j? comprises entre — 1 et -f-i, on a

m mi m — i ) .

mim — \) (m — 2). ..(m — n -f- 1) .

Le développement de {a -^ b)"^ suwant la formule habituelle (255), lorsque V exposant m n'est plus entier mais quelconque^ n'est donc permis que dans l'hypothèse où a est plus ^rand que b en valeur absolue,

692. II nous reste à examiner les cas particuliers 011 Ton a a? = zi= I, pour lesquels les raisonnements précédents ne sont plus admissibles.

La formule qu'on vient de démontrer ayant lieu pour toutes les valeurs de x comprises entre 4-1 et — i et, par conséquent, pour des valeurs de x aussi proches qu'on voudra de -h 1 ou de — i, sera encore vraie pour xz=l-\-i ou pour U7 = — I, à la condition que les séries correspondantes du second membre demeurent convergentes; car les deux membres de la formule étant toujours égaux dans l'intervalle indiqué, si chacun d'eux tend vers une limite déterminée pour ^ = -1-1 ou pour j:=: — I, ces deux limites seront nécessairement égales entre elles (334*).

Or, pour .r=:±:i, on obtient les deux développements suivants :

m m (m — i ) m (m, — i){ni — 2 )

ni{m — i) (m — 2). . .(m — n-\-\)

ALGÈBRE SUPÉRIEUKE. SSq

Le rapport d'un terme au précédent est (691)

Un

Si m-^i est un nombre négatifs c'est-à-dire si m est compris entre — i et — oo, ce rapport est plus grand que i en valeur absolue, et la convergence est impossible pour les deux développements à la fois, puisque leurs termes ne tendent pas vers zéro (362).

A la limite, pour mi=— i, le rapport — ^ est égal

à qpi, de sorte que les termes des deux séries considérées ont tous la même valeur absolue et que la convergence est encore impossible. La première devient la série indéterminée I — i-f-i — I -f-. . ., et la seconde, la série divergente

Il faut donc supposer m -h i positif, c'est-à-dire m compris entre — i et 4- oo.

Considérons d'abord le premier développement. Le rappor( d'un terme au précédent est ici

Un, m H- I

de sorte que, pour m h- i positif et pour n assez grand, ce rapport finit toujours par être moindre que i en valeur absolue. Les termes de la première série finissent donc par diminueide l'un à l'autre, en étant alternativement positifs et négatifs, ce qui entraîne la convergence de la série (394). Finalement, on a

m m ( /?? — f ) mini — i){m — ol)

tant que m -^-i est positif.

Considérons le second développement. On a alors

Un /m -h I \ m -f- 1

Ce rapport, pour n assez grand, finit toujours par rester inférieur à i; mais sa limite, pour nz=zoo, est égale à l'unité : on est donc dans le doute (375V

Pour décider, désignons par (U ) le développement

,.., m m(m — i) m(rn — i){m — 9.)

et comparons-le à la série (V)

j/rt+1 2''»-*-* S"***** A"***"^

On a, en même temps, pour le rapport d'un terme au précédent dans les deux séries,

if„ /w -1- I

et

(/i-hï)'»+»

Vn-

rt-l

-{^^TH^)""=Hr"

,^/«-hl

j? ou - étant ici moindre que i, on peut appliquer à cette dernière expression la formule du binôme (691 ) et écrire, en se bornant à trois termes,

v^ m-hi I , (w -h i) (/n -f- 2) I / . ^N^-/»-»

Vn-i in 1.2

On a donc, puisque /n 4- i est positif.

iO-^l)

^« >J^ ou îl£<"-'

Il en résulte (385, 367, VI) que la convergence de la série (V) doit entraîner celle de la série (U). Or la série (V) est convergente, lorsque m est positif (377, 3*); il en est donc de même de la série (U).

Ainsi, l' on a

tant que m est positif.

Il est clair, d'ailleurs, que le premier membre de la formule devient infini, lorsque m est négatif, et que, par suite, la série du second membre est alors divergente.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. SqI

DéToloppement des fonctions exponentielles. 693. i« Soit d'abord

Toutes les dérivées de la fonction e* sont égales à cette fonction. Elles restent donc finies pour toute valeur finie de ûc, et elles se réduisent à l'unité pour a; = o, comme la fonction elle-même. Quant à la (/n-i)'*°^« dérivée F'»-^*(0^), elle devient e®*, et Ton a, en prenant la forme la plus simple du reste (68(i.),