Soit

Nous ne prenons pas directement la fonction Ix, parce que nous voulons appliquer la formule de Maclaurin et que, pour x=io, la fonction Ix et toutes ses dérivées seraient infinies (496, 586).

D'après le résultat obtenu d'une manière générale (6'*1, 3°), on peut évidemment écrire, pour le cas considéré de V{x) =z l{i -i- x) et en se reportant au théorème des fonctions de fonctions (564),

F«(.t) — {— I)'*-» I .2 .3. . .(/i — i) (i + iF)-».

ALGÈBKE SUPÉRIfeURE. SqS

On trouvera donc directement la première dérivée de la

fonction

et Ton aura ensuite, en faisant successivement /i = 2, 3, ... n, dans la formule ci-dessus

F«(jc) = (— !)«-* 1 .2.3. . .{n — i) (i -h jr)''* =:q= 1.2.3. ..(n — i)(i -hx)'",

(i^Ox)"-^^

Il viendra donc, en faisant ^ = o dans la fonction et dans ses dérivées successives, sauf la dernière, et en se rappelant (496) que /.i = o,

Nous avons déjà étudié cette série (397, 2«), abstraction faite du terme complémentaire, et nous avons reconnu qu'elle était divergente lorsque x était supérieur à i en valeur absolue ou égal à —i, et qu'elle était convergente lorsque x était inférieur à i en valeur absolue ou égal à + 1.

Nous allons vérifier de nouveau cette convergence, en considérant le terme complémentaire qu'on peut écrire

Si 0? a une valeur positive moindre que i ou égale à i,

^ est une fraction proprement dite dont la puissance

{/i -i- !)»*"• peut devenir moindre que toute quantité donnée. Le reste de la série a donc alors zéro pour limite, et la série est convergente.

Db C. — Cour$, ni. 38

^94 ÀLGÈBKE supÉnnstriiE.

Si ^ a une valeur négative comprise enlre o et — i, posons X =1— z. Le terme complémentaire deviendra, en laissant son signe de côté (3^0),

w 4- 1 (i — QzY-^^ ^ /i -h I V i — Bz)

Sous cette forme, on ne peut pas affirmer que le reste de la série tende vers zéro, parce qu'on ne sait pas si — ^^ est

I — \jZ

une fraction proprement dite. Pour lever la difficulté, nous aurons recours à la forme plus générale du reste (68&)

^if+i

J «2«0* • w ft

(,0)nF«-Kt(0^).

On trouve alors, pour le terme complémentaire qui répond à la fonction /(i + jt), en remplaçant toujours :r par — zsans tenir compte du signe du résultat,

i . îi . 3 . . . w ou

dz

Comme z est moindre que i, ^ est une fraction pro-

prement dite inférieure à i, et sa puissance n}^*" a zéro pour limite quand n croît indéfiniment; — ^^ est d'ailleurs une

quantité finie inférieure à - ^ ^' Le terme complémentaire

de la série a donc zéro pour limite, et la série est encore convergenle.

En résumé, pour toutes les valeurs de x comprises entre — I et H- I, et aussi pour j? = i, on a

Pour a: = — 1, le premier et le second membre de cette égalité deviennent tous deux égaux à — oo; car le premier membre se réduit à /.o=r — a> (496), et la série du second

ALGkBKE SUPÉRIEURE. SqS

membre se confond avec la série harmonique (363) changée de signe.

Le développement que nous venons d'établir va nous conduire aux formules relatives au calcul des logarithmes.

Calcul des logarithmes népériens.