La série
étant convergente (696) pour toutes les valeurs de x com* prises entre — i exclusivement et +1 inclusivement) on peut
d'abord y changer a? en ^, en désignant par N et par ;; < N
deux nombres positifs quelconques. Il vient ainsi
de sorte que Ton peut écrire
On peut aussi changer j? en — -j? dans l'égalité (i), à la condition que x demeure toujours compris entre o et \ , On obtient alors la nouvelle égalité
iv* ^r T* *]/*
En retranchant l'égalité (3) de l'égalité (i), on a
Comme est plus grand que 1, on peut poser, en dési-
gnant par :; et par N deux nombres positifs quelconques,
d'où il résulte
aN
096 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
Le premier membre de la relation (4) devenant
on peut écrire, en remplaçant x par sa valeur dans le second membre,
^5) (/N-f-;;)=:/\-hoJ -::^ h - — -^:^ H- ^7— x" ^ -I-...
On voit que les formules (2) et (5) permettent de calculer le logarithme népérien du nombre N -h -5 lorsque l'on connaît celui du nombre N.
En faisant, en particulier, ^=1 dans ces deux formules, on a
3(2N-+-i)' 5{2N+iV
698. Les séries (2) et (5) sont très convergentes, dès que N est un peu considérable relativement à z.
Proposons-nous, par exemple, d'évaluer le degré d'approximation que l'on obtient en s'arrètant dans la série (5) à un certain terme.
Négligeons, dans la parenthèse du second membre, tous les termes qui suivent le terme de rang/? -h i ou le terme
Verrear commise sera égale à
(2/>4-3)(2N-hr)»/'-^» "^ (2/?-+-5)(2N-H5)«''-^* -H...J: elle sera donc moindre que
(2/>-+-3)(2N-h5)»/'-»-» L' "^ (2N-H5)» "^ (2N-1-J)* "^' • • J ou, la parenthèse formant une progression indéHniment dé-
croissante dont la raison est ^-ir^ z^y moindre que (Als^.
élém.y 3(1.2)
(2/>-h3)(2NH-3)V>4-sL -' I
En désignant par £ Terreur commise et en simplifiant, on aura donc, d'une manière générale,
Si Ton ne conserve que le premier terme de la parenthèse du second membre de Tégalité (5) [697], il faut faire dans ce qui précède /> =10 et Ton a, à la fois
/(N + .-) = /X-^^j^ et
ou, a fortiori, en négligeant z au dénominateur,
699. C'est en réalité au moyen de la série (7) [697] que Ton calcule les logarithmes népériens. En faisant d'abord dans cette série N = i , on a, puisque /. i = o,
On commence par réduire en décimales les fractions ô'* ôïï'
«ï> Ô7> • • •> en divisant par 9 les résultats successivement obtenus à partir du premier; puis, on divise respectivement les quotients correspondants par la suite des nombres impairs
'> *^> ^> 7> • • • • En prenant les dix premiers termes du second membre, on
obtient, avec dix décimales exactes,
/.2 rro, 69314 71806. . ..
SqS algèbre SUPÉRIEUEB.
En supposant N = q, dans la même série (7), on a
On réduit d'abord en décimales les fractions ?« eï' ^>
^9 "•} en divisant par 25 les résultats successivement obtenus
à partir du premier; puis, on divise respectivement les quotients correspondants par la suite naturelle des nombres impairs. On abrège le calcul en remarquant que, au lieu de diviser par 25, on peut diviser par 100 et multiplier par 4-
On a ainsi, avec la même approximation et en conservant huit termes dans le second membre,
On obtient l»^, en doublant /.2, et l'on trouve
En faisant N = 4 dans la série (7), il vient
On obtient les fractions -> — ,> —.> —-> • • •> en divisant par 3
les fractions déjà calculées ô> ôi> ip> jû' • • •> et l'on n'a plus
qu'à diviser les quotients correspondants par la suite des nombres impairs. En conservant les six premiers termes du second membre, on a, avec dix décimales exactes,
On a ensuite
En faisant N =6 dans la série (7), on trouve /.7 ; etc.
Calcul des logarithmes ynlgaires.
700. Pour passer des logarithmes népériens aux logarithmes vulgaires dont la base est 10, il suffit de multiplier les pre-
ALGEBRE SUPÉaiEURE. 599
miers par le module relatif (506)
On a d'ailleurs
/. lO n: /(2.0)=: /.2 -h /..>,
c'est-à-dire, d'après ce qui précède (699),
/. io = a,3oQ585o93o
Il vient donc
Nous avons déjà donné (506) les valeurs de /. 10 et -z — avec
quinze décimales exactes.
Si Ton jnultiplie maintenant par Mies deux membres de l'égalité (7) [697], on a évidemment
(8) Iog(N-hi)=:logN-h2M -^Tf^ h :rr^ ^"^x7— V— ; — r» -^-•••
^ ' °^ ^ ° LaN-j-i 3(2Nh-i)' 5(2Nh-i)*
et c'est à l'aide de cette dernière série qu'on a établi les Tables usuelles.
Les premiers calculs seuls sopt pénibles.
En efifet, lorsqu'on ne conserve que le premier terme de la parenthèse du second membre, il suffit évidemment, pour avoir une limite supérieure de l'erreur commise E|, de faire z •= I dans la limite indiquée pour E au n*» 698 et de la mulliplier par M. On a ainsi
Lorsqu'on ne conserve, dans la parenthèse du second membre de l'égalité (8), que les deux premiers termes, Terreur commise Es est moindre que
ou que
5(aN-hi)* 1 5(2N-+-i)»(4N*-+-4iN)
^ (aN + O-
6oO ALGÈBUE 8UFÉR1EUEB,
On a donc, en simplifiant.
ioN(N-t-i)(2N4-i)' et, a fortiori,
M étant moindre que -> il résulte de la valeur de E^ que,
dès qu'on est parvenu au nombre loi, il suffit de conserver les trois premiers termes du second membre de l'égalité (8), pour obtenir log(N 4- 1) avec dix décimales exactes; car on a
alors, en remplaçant M par ~>
Eî< -Tir TTTÏÏ OU E,<
160 io»« ' 10»»
Il résulte de même de la valeur de Ei que, dès qu'on est parvenu à looi, il suffit de conserver les deux premiers termes du second membre de l'égalité (8), pour obtenir Iog(N -hi) avec huit décimales exactes; car on a alors, en
remplaçant M par -»
Ei<— — ; ou E,<-— -.
Justification directe de l'emploi de la règle des parties proportionnelles dans les calculs par logarithmes.
701. Nous avons admis, en traitant des logarithmes arilhmétiques {^Alg. elém., 364 et suiv.), qu'il y avait proportionnalité entre les petits accroissements donnés aux nombres et les accroissements correspondants de leurs logarithmes; et nous avons montré que, lorsqu'on opérait à Taide de la partie la plus élevée des Tables, on arrivait ainsi à un résultat exact, à la condition de ne pas conserver plus de sept décimales dans l'expression des logarithmes et plus de sept chiffres significatifs dans celle des nombres.
C'est sur ce point que nous voulons revenir ici.
Nous avons trouvé (696), pour l'expression du reste de la
ALOiSBRE SUPÉRIEURE. 6o
série (i) [697], dans le cas de x positif,
Ce reste a donc le signe de (— - 1)**, et sa valeur absolue est moindre que ; en désignant par ôj une quantité comprise entre o et i, on peut, par conséquent, le représenter encore par la formule
Si l'on se borne aux deux premiers termes de la série, en supposant x compris entre o et i, on a donc, en faisant /i = I,
En remplaçant x par ^ [équation (a), 697], il vient
ou, en multipliant les deux membres par le module relatif M pour passer aux logarithmes vulgaires (700),
(II) log(N+,;)-IogN=:MQ-^|^.
Si f'on fait z = i dans cette relation, il faut substituer à d, une nouvelle valeur 0\ aussi comprise entre o et i, et l'on a
(12) iog(N-M)-logN=:M(^i-A.).
Cela posé, représentons par d l'accroissement du logarithme du nombre N, quand ce nombre prend l'accroissement <5, et par A la différence tabulaire correspondante. Nous aurons
log(N -f- z) — logN =: 3 et log(N H- 1) — logN ■=. A.
La proportionnalité admise {Alg. élém., 367) conduit à
()02 ALGÈBRB SUPÉRIEURE.
c'est-à-dire à
d= z^ et s=^ T'
Si l'on désigne par e Terreur commise dans le calcul de log(N -h^) à Taide des Tables et par Ç Terreur commise, réciproquement, dans le calcul du nombre N + ^ si son logarithme est donné, on devra avoir en réalité
Remplaçons dans ces égalités oet A parleurs valeurs déduites (les équations (r i) et (12), et il viendra
<H, en simpliflant immédiatement la fraction -r
Puisque M est moindre que - et que les quantités ^, ôj, 5'|
sont comprises entre o et i, on a nécessairement, en représentant par ± £ et =h Ç les valeurs absolues de £ et de s»
-4- £ <- et -+" — <' •
On voit donc que, si N est égal ou supérieur à 1000, comme dans le cas 01^ Ton se sert des Tables de Hoïjbl à cinq décimales {Trigon,y 122), Terreur zht est moindre que le quart
d'une unité du sixième ordre décimal, tandis que Terreur
r relative ± =^ {Alg. élém.y 370) est inférieure à une demiunité du même ordre, de sorte que Temploi de la proportion
ALGÈBKB SUPÉRIEURE. 6o3
est légitime lorsqu*on se borne à cinq figures, soit qu'il s'agisse du calcul du logarithme d'un nombre donné ou de celui du nombre qui répond à un logarithme donné.
Si N est égal ou supérieur à loooo, comme dans le cas où l'on sert des Tables de Càllbt ou des Tables de Schrôn, édition française {Alg. élém.^ 362), les erreurs dont il s'agit deviennent respectivement moindres que le quart et la moitié d'une unité du huitième ordre décimal; et l'on peut compter sur sept figures exactes dans les deux calculs qu'on a à effectuer.
Développement des fonctions sinx et cosx.
702. Nous avons démontré précédemment (641, 5®) que la dérivée d'ordre n de sin^r était égale à
I sm I 07
et que la dérivée d'ordre n de cos^ avait pour valeur
cos
Il en résulte que les dérivées de sïnx et de co^x restent finies, quel que soit x.
D'ailleurs, on a vu (6*1, 4°) que les dérivées de sin^ reprennent périodiquement et indéfiniment les quatre valeurs
i C0SJ7, — sinj?, — coso?, %\nx,
tandis que celles de cos j? reprennent périodiquement et indéfiniment les quatre valeurs
— smo?, — co%Xy smj?, cos a?.
Les dérivées tordre impair sont, dans le premier cas, drcoso?; les dérivées à' ordre pair sont, dans le second cas,
I^ COSJ?.
Pour a? = o, les valeurs de la fonction %\nx et de ses dérivées forment donc une suite périodique ayant pour période
tandis que les valeurs de la fonction cosâ? et de ses dérivées
6o4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
forment une suite périodique ayant pour période
En appliquante formule de Haclaurin (684), on aura donc
sinx = r -4-
COSJ?=: I h
Comme on Ta déjà vu (678), le facteur
F^^^iBx).
jjH+l
