Si Tare x est compris sur la circonférence de rayon f
entre o et -> les termes des deux séries vont constamment en
diminuant, à partir du premier pour le sinus, à partir du se-
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 6o5
cond pour le cosinus^ et Ton peut écrire les inégalités
cosaî<i, cosj:>i » cosa:<i V-'—ry ••••
On obtient ainsi, pour le sinus et le cosinus d'un arc corn-
pris entre o et -> des limites plus resserrées que celles indi>
quées en Trigonométrie ( Trigon., 105, 106), En particulier, la différence entre l'arc et le sinus est moindre que le sixième du cube de l'arc, et la différence entre le cosinus et l'excès de l'unité sur la moitié du carré de l'arc est moindre que le vingt-quatrième de la quatrième puissance de l'arc.
Déyeloppement de la fonction arc tango:.
10k. Considérons encore la fonction
y = F{x) = arc tango?,
et cherchons d'abord l'expression générale de la /i**"»« dérivée.
En prenant les dérivées successives» on a immédiatement (613)
puis, de proche en proche (574),
Il est facile de continuer; mais la loi générale n'apparatt pas d'elle-même, et il faut suivre une autre marche pour la découvrir.
Partons de
' dx I -h .r'
et
et posons
Nous aurons, en même temps,
9= arc cota:, doù -r- = ; — r=— sin'o
t/a: 1 4- cot* 9 ^
Nous trouverons donc successivement
-7-^ =2 sin(pcos9T— = — sin*9Sina<p,
-T^, =— 2sin(p cosç-T^smaç — cosaf.a-jT-sîn^ç
= 2 sin'<p[2 sin*9C0S*(p -h (cos*(p — sin*(p)sin*9] =: 2 sin' <p [ 3 sin <p cos* 9 -— sin* 9],
c'est-à-dire {Trigon.^ 61)
^=i.2sin'9Sin3(p,
— ^ =1.2.3 sin'9COS9-~sin39 -f-i .2 cos39.3-^sin*9,
= — 1.2.3 sin^9[cos9sin39 4- sin9 cos39],
c'est-à-dire {Trigon.y 53)
-T^^ = — 1 .2.3 sin^9sin49.
En poursuivant, on arrive évidemment à la formule générale
^-^ =:F'*(j:) = (—1)'*"* 1.2.3. . .(/i — i)sin'*9sin/i9.
D'ailleurs, de
dy^ 1 . ,
on déduit
sin* 9 — ~ >
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 607
el l'on peut écrire finalement
relation dans laquelle on fera n = 2, 3, 4i - . ., n. On a directement F(o)=o etF'(o)=:i.
Cela posé, comme arc cotom - et que sin/i- est égal à o
ouh ±zi suivant que n est pair ou impair {Trigon.y 29, 11, 12)^ la formule de Maclaurin conduit ici au développement
\ F(a?)riz 0--+--=- H...
(') j j7«»-*-i sin[(2n -+-i) arc cotôj?]
Il nous reste à chercher les conditions de convergence de la série.
On a, pour la valeur absolue du rapport d'un terme au précédent.
A mesure que n augmente, ce rapport, toujours moindre que a:', tend donc vers a?* autant qu'on veut et est égal à x^ pour n inQni.
Par suite, la série est convergente (389) lorsqu'on a a7^< i, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de x comprises entre — 1 et 4-1; et comme, dans cette hypothèse, le terme complémentaire de la série a zéro pour limite, lorsque n croît indéflniment, le développement (i) représente bien arctangj?.
La série est encore évidemment convergente pour les deux valeurs limites a: = — 1 et a? = 4-1 (394).
Lorsque l'on a, au contraire, a?* > i, c'est-à-dire lorsque x est plus grand que i en valeur absolue, les termes de la sérrr ne diminuent pas en ayant zéro pour limite (397, 2«) : le terme complémentaire n'a donc pas lui-môme zéro pour limite, et la série ne peut pas être convergente (362).
11 faut remarquer que, à une valeur donnée de x^ ré(5on-
6o8 JVLGÈBBE SUPÉRIEUHE.
dent une infinité de valeurs de la fonction considérée, arctang^ {Trigon., 43); mais, parmi ces valeurs et dans rintervaile où la convergence existe, une seule se réduit à zéro quand x approche de o d'une manière continue : c'est
la valeur de arctangj? comprise entre et h — > et c'est
celle-là que nous devrons choisir.
La série (i) a été donnée par Lbibnitz, et elle porte souvent son nom.
Nous allons nous en servir pour calculer le rapport de la circonférence au diamètre {Géom,^ 227, 233 et suiv.)
Calcul de r.
