Dans la série

jr .r^ jr* .c'

(i) arctang^= tt -h -^ h...,

supposons x:=i. La série demeure convergente (70fc), et Ton a

arctangdr=^ 7-«

Par suite,

t: III

Mais celte série converge trop lentement pour qu'on puisse remployer au calcul de tu. Nous allons donc déterminer d'autres expressions qui, par leur combinaison, nous permettront d'opérer beaucoup plus rapidement.

Posons, d'une manière générale,

arc tang/ = a, arc lang z:=zb

ou

tanganzj, tang6=:5.

Il en résulte

, ,, fangan-tang^ v -^ z

lang(a 4- 6) := ^ , , = >

^ I — langatang6 i— /^

c'est-à-dire

(2) arc(a -j- ft ) — arc tang/ -h arc tanga = arc tang

Nous voulons avoir, par hypothèse,

arc langj -t- arc tang^ •=! j^=i arc lang i ; ce qui, d'après la relation (a), entraîne la condition

(3) Z ^=1 ou y4-<5 = i — V5.

Par exemple, si Ton faitj'= -j on trouve 5=3» et Ton a