Soit une fonction de x de la forme

Il peut arriver que les deux termes de cette fraction deviennent ensemble nuls ou infinis, pour une certaine valeur de X égale à x^, La fonction prendra alors la forme indéterminée - ou — {^Ig* élém., 116 et suiv.). Nous nous proposons de calculer sa véritable valeur, c'est-à-dire la limite vers laquelle eUe converge, lorsque x tend vers la valeur spéciale a?o.

La difficulté peut être levée très souvent à Taide du théorème suivant, auquel on donne habituellement le nom de règle de l*Hospital. On la trouve dans son Analyse des infini/kent petits^ publiée en 1696, et elle lui appartient sans aucun doute malgré une réclamation singulièrement tardive de Jean Bernoulli.

Voici renoncé de cette règle remarquable :

Si les deux fonctions f{x) et F (a?) tendent simultanément vers zéro ou vers V infini, lorsque x tend vers une valeur spéciale x^y et si les dérivées de ces fonctions restent en même temps déterminées, les deux rapports

6i2 algèbue supérieure.

tendent vers la même limite lorsque x s'approche indéfiniment de Xq,

707. I® Admettons d'abord qu'on aitf{x^) =z o et¥{x^) = o. Nous avons démontré (636) la relation générale

f(x,-^-h)^f{xo) /'(x.^Sk) F(œ^-hh) - F(xo) " F'(^o-4- 6h) '

où 9 est un nombre compris entre o et i. Elle s'applique précisément dans les conditions supposées, et elle devient, dans l'hypothèse indiquée,

f{xo-^h) f'(xo-h6h) F(a7o-4-A) ¥'(Xo-^-0/i)'

Les fonctions /et F étant continues et leurs dérivées déterminées dans rinlervalle {x^^ Xq-\- h), faisons tendre h vers zéro. Les deux membres de Tégalité précédente resteront constamment égaux et auront, par conséquent {33k), les mômes limites pour h = o. On peut donc écrire

^''^ fe) = *^"' FV) [P««^^ = ^o];

ce qui justifie l'énoncé précédent (706).

708. La démonstration que nous venons de donner exige que Xq soit une quantité finie, l'infini ne pouvant figurer dans les calculs comme une quantité déterminée (338).

11 faut donc examiner à part le cas de 0^0 = 00. Nous changerons alors de variable en posant

et nous aurons

Si X tend vers l'infini, z tendra vers zéro, valeur déterminée. On peut donc écrire, d'après ce qui précède (707), en

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 6l3

remarquant que /(z) ^^^ \z) ^^^^ ^®^ fonctions de fonction de ^ (564), •

^<" F(i) -ip(l)

= lim — ~Y [pour 5 = 0],

c'est-à-dire

'•'"F(^) = *""r(^ [pour ^ = 00].

La règle reste donc la même.

709, 2** Admettons, en second lieu, qu'on ait /{xq) =00 et

On peut poser

et l'on voit que, pour x = a;», les fonctions tt; — r et -r-, — r de- ^ ' *" h^x) f{x)

viennent nulles toutes les deux. On peut donc encore appliquer la règle précédente (707) et écrire (564)

LF'(ar)J

Si, pour X =z a?o, ir? — r tend vers une limite finie L, diffé

rente de zéro, on a donc(3U^) F'(x)

6l4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Le théorème énoncé au n° 706 est, par conséquent, encore vérifié.

710. II est nécessaire de montrer que la même conclusion subsiste, lorsque la limite L est nulle ou infinie.

Supposons-la d'abord nulle. Désignons alors par K une constante quelconque, et considérons la fonction

Puisque, par hypothèse, la limite de fr7--4 est nulle, la limite de la fonction qu'on vient de former doit être égale à K. On peut donc appliquer la règle (709) et écrire

lim -^^ \^. , = lixn ^ \^,. . ^ ^ = K.

Il en résulte évidemment

hm -L,) ; = o = lim ^^7— ; • F'(^) F{x)

f(x) Si la limite L de -^7 — r est égale à l'infini, la limite du rap-

port inverse est zéro. On a donc, d'après ce qu'on vient de

démontrer,

et l'on en déduit immédiatement

711. La règle de l'Hospital ne fait, en réalité, que reculer la difficulté; car il peut arriver que les dérivées f'{x) et F'{œ) soient aussi, ensemble, nulles ou infinies pour .r = 0^0» comme les fonctions /(^) et V{x) elles-mêmes.

On doit alors répéter l'application du théorème relativement à la nouvelle fonction

w{xy

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 6l3

en la remplaçant par le rapport

et continuer de là même manière si Tindétermination subsiste toujours.

11 faut donc généraliser comme il suit l'énoncé du théorème (706) :

Si les fonctions fi^x) et F (a?) sont simultanément nulles ou infinies pour x = d?o> ^^ <7"^ l*on soit obligé de poursuivre le calcul de leurs dérivées respectives jusqu'à celles de l'ordre n, afin d'en trouver au moins une qui ait une valeur finie dijfférente de zéro pour x-=. x^, on a

lim ^TT— : = limf^-T— { [pour x = Xo].

EXEMPLES

712, i* Soli l'expression

On demande sa véritable valeur pour x = a. £n appliquant la règle précédente, il vient (S76)

nm = (po\irx = a)y

c'est-à-dire que la valeur cherchée est

ma*»-*.

On peut facilement vérilier ce résultat, puisqu'on connaît le quotient de x'»— a"* par x — a et qu'on a ( 14)

,27 wï ^— a^

' = x'»-* -H ax"»-' •+- a'x'»--' -4- . . .4- a'"— ' x -H a"*-*.

Si l'on fait x = ^, le polynôme du second membre se réduit bien à

a* Chercher la limite des deux rapports

sinx ^ tangx et — 2—

pour X = 0.

6l6 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

On a ici (598, 601)

,. sinj: ,. cosx . ^

lim = Iim [pour j- = oj= i,

lim — — =liin — r— [pour x = o] = i.

Ce sont les résultats obtenus en Trigonométrie {Trigon., 104). 3* Soit Vexpression

X — %\TiX

On demande sa véritable valeur pour j: = o.

Nous serons forcé ici (71i) d'appliquer successivemeat la règle jusqu'aux troisièmes dérivées. On a, en effet,

Iim : =lim [pourx = o]= :

X — smjr 1 — cosx ^^ ^ o

puis,

et enfin

lim = lim — ; [pour .r = o]= -;

I — cosx sinx ^^ ■" G

lim — : = lim [pour x = o] = -

sinx cosx ^ I

La vraie valeur cherchée est donc égale à a.

4* Soit le rapport

oh a est wie constante positive et n un entier positif. On demande sa véritable valeur pour x = oc.

Il faut appliquer successivement la règle (7il) jusqu'aux dérivées d'ordre n.

On a, en effet, en supposant a plus grand que i,

,. a^ ,. a'ia . i »

lim —- = lim — — -r [pour x = «] = — ;

,. a' la ,. a'ilaY r i «

lim — -— ; = lim ^— r-^ — 1 [pour x s= «] = - ;

,. «*(/«)»-! ,. a'(la)^ - ,

lim -: r-7 — - — r = hm \ [pour x = »] = «.

La véritable valeur cherchée est donc l'infini.

Si l'on suppose a plus petit que i, cette véritable valeur devient zéro.

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 617

5® Soit la fonction rationnelle (417)

ax"^ H- hx"^-^ -4- c j?"»-* -j- . . .

Ax« -h Ba?«--» ■+■ Cx«-* -+-... '

On demande sa vérilable valeur pour x = » {Alg. élem,^ 119).

U faut encore appliquer la règle (711 ) jusqu'aux dérivées d'ordre convenable, en distinguant trois cas.

i" On a ni^ n.

On prendra le rapport des dérivées d'ordre n des deux termes de Texpression. Le dénominateur sera devenu un nombre constant (3â5), et le numérateur contiendra encore x, La vraie valeur de la fonction, pour X = a>, sera donc Tinfini.

2* On a m <, n.

On prendra le rapport des dérivées d'ordre m des deux termes de l'expression. Le numérateur sera devenu un nombre constant, et le dénominateur contiendra encore x. La vraie valeur de la fonction, pour X = ac, sera donc zéro.

3° On a m = n.

On prendra le rapport des dérivées d'ordre m=: n des deux termes de Texpression. Le numérateur sera devenu i.a.3...mA, et le dénominateur sera devenu i .a.3. . ./nA. La vraie valeur de la fonction, pour

X = 00, sera donc - •

En résumé, suivant que le degré du numérateur de la fonction rationnelle sera supérieur, inférieur ou égal (tu degré du dénominateur, la vraie valeur de la fonction, pour x = «, sera l' infini, zéro ou le rapport des coefficients des premiers termes du numérateur et du dénominateur ordonnés suivant les puissances décroissantes de la variable.

Antres sjrmboles d'indétermination.

713. Les autres symboles d'indétermination {Alg. élém., 118) peuvent, en général, se ramener aux précédents. C'esl ce que nous allons montrer.

714. I. — Cas où la fonction se présente sous la forme 0.00, ■

On a à considérer l'expression

y=f(x)¥ix), et Ton suppose que, pour x = a, on a/(a) = o et F(a) = c».

6l8 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

La fonction y prend alors la forme indéterminée

y=. o.oo.

Or, on peut écrire (i) 7= r \ 1 ^" y

r= =. UU J=p T'

et Ton a, sous cette nouvelle forme et pour j? = a,

y = - ou y = — •

II suffit donc d'appliquer la règle de THospital (711) à Ja fonction proposée mise sous la forme (i).