CHAPITRE XV

THÉORIE DES MAXIMUMS ET DES MINIMUMS (»)•

Croissance on décroissance d'une fonction d'une seule variable.

722. Nous commencerons par rappeler Texpression qui nous a conduit à la définition de la différentielle d'une fonction j=/(j;):

Celte expression est (545) (i) A/=/'(:r) Aa?-h olIx,

Supposons que, pour une valeur donnée de ^, f'{x) ait une valeur finie et bien déterminée, différente de zéro.

Si Ton fait alors tendre \x vers zéro en le prenant pour Infiniment petit principal, a tendra aussi vers zéro, et le produit aAj? disparaîtra devant /'{x)Ax comme infiniment petit d'ordre supérieur (521, 2'). Il en résulte que Ay aura le signe du produit /'(j:)Aa? ou le signe ûe/^{x)y si Ton comnent de prendre l'accroissement Aj? positif.

Par suite, si la dérivée /'(j?) est positive, Taccroissement A/ est aussi positif, c'est-à-dire que la fonction va en croissant. Si la dérivée /'(a?) est négative, l'accroissement A/ est aussi négatif, c'est-à-dire que la fonction va en décroissant.

En général, une fonction y ^=if{x) crott ou décroît, à partir

(') D'après le Dictionnaire de l'Académie, les mots maximum et minimum sont des substantifs masculins. Nous croyons qu'il ne faut pas les décliner comme en Jatin, et qu'on doit les employer de la même manière que les mots pensum^ /actum., factotum,^ etc. Nous ne dirons donc pas des m.axim,a et des minima^ bien que ces locutions aient été souvent adoptées par d'illustres auteurs, que nous sommes loin d'ailleurs de critiquer.

628 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

d'une valeur déterminée de œ^ suivant que sa dérivée est, pour cette même valeur de Xy positive ou négative. La réciproque est vraie {Géom,, W).

Si/'(^) s*annu]aît poqr la valeur choisie de x, Tégalité (i) deviendrait ly = aàx. L'accroissement de la fonction se réduirait donc à un inflniment petit d'ordre supérieur et, sauf cet infiniment petit, on pourrait regarder la fonction comme stationnaire dans un intervalle infiniment petit comprenant la valeur considérée de x,

723. L'interprétation géométrique de la dérivée (535) concorde avec ce qui précède.

Si Ton construit la courbe représentative de la fonction y -j=if{x) (fig. 5), Tordonnée/ croît évidemment, en général, à partir d'une valeur de ^, pour laquelle on a/'(a?)>o; cette ordonnée décroît, au contraire, si Ton a/'(a7)<o. Si Ton a f'{x) = o, la tangente à la courbe au point considéré est parallèle à Taxe des x^ et Ton peut regarder l'ordonnée y comme stationnaire dans un intervalle infiniment petit.

724. Si la fonction y=:/{x) admet dans un intervalle {xoy X) une dérivée f{x) et que, dans cet intervalle^ cette dé-rivée ne soit ni constamment nulle pour les valeurs de x com^ prises dans un certain intervalle renfermé dans le premier, ni négative, la fonction est constamment croissante dans l'intervalle (a?o, X).

En désignant par x^ une certaine valeur de x comprise dans l'intervalle (^o> X) et par x^, Xp, deux valeurs quelconques de X appartenant au même intervalle et comprenant a;|, on a, en effet (634),

La quantité /'(j?i) étant, par hypothèse, positive ou nulle sans changer de signe, on a, en apposant ;r^>Tm,

f{x^)<fixp).

Mais, dans rintei*valle (x^, .r^), la fonction f{x) ne peut être constante, puisque /'(j?) n'est pas constamment nulle. Il existe donc une valeur x^ comprise entre x^ et Xp, telle que f{Xn) diffère au moins de Tune des quantités /(j?m) et

f{xp). Par suite, on a, en même temps et nécessairement

Faiileurs, si /(x^)=/{x,„), il diffère de /(xp)y et si f{x„)=/{Xp), il diffère àef{xm). On a donc forcément

/(x^X/iXp),

et la fonction /(j?) est constamment croissante dans Tintervalle (xq, X).

On démontrera de même que, si la fonction y=^f{a:) admet dans un intervalle {Xqj X) une dérivée f (œ)y qui ne soit ni constamment nulle pour les valeurs de x comprise dans un certain intervalle renfermé dans le premier, ni positive, la fonction est constamment décroissante dans V intervalle

Mazimnms et minimnms des fonctions d'une seule variable.

725. La question des maximums et des minimums se pose nécessairement pour les fonctions finies et continues, soumises à des oscillations limitées (&53, 1^58).

Nous avons déjà défini {Algèbre élémentaire^ 283) ce qu'on doit entendre par le maximum et le minimum d'une grandeur variable.

Lorsqu'une grandeur variable, après avoir augmenté d'une manière continue dans un certain intervalle, diminue ensuite de la même manière, elle atteint nécessairement une valeur plus grande que celles qui précèdent et qui suivent immédiatement, c'est-à-dire qu'elle passe par un maximum.

Lorsque la grandeur variable considérée, après avoir diminué au contraire d'une manière continue dans un certain intervalle, augmente ensuite de la même manière, elle atteint nécessairement une y^X^uv plus petite que celles qui précèdent et qui suivent immédiatement, c'est-à-dire qu'elle passe par un minimum.

D'après cela, soient/=:/(a;) une fonction de la variable j? et Xo une valeur particulière de x. Désignons par h uuc quantité positive, d'ailleurs aussi petite que l'on voudra et pouvant varier de o à C.

63o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Si l'on a, constamment el à la fois,

pendant que h parcourt TinlervaHe (o, C) ou que ;r parcourt rintervalle {.Tq — C, .ro + C), la fonction/ atteint un maximum quand la variable x passe par la valeur Xq, ei /(xq) est un maximum, de r. Si Ton a, au contraire, constamment el à la fois,

A-^oXfi^o — à) et /(^o)</(^o-t-/*),

dans les mêmes circonstances, k fonction > atteint un /minimum quand la variable x passe par la valeur ^r©, et/(j:*o) est un minimum de y.

726. Une fonction peut évidemment présenter plusieurs maximums et plusieurs minimums qui devront, d'après ce que Ton vient de dire (725), se succéder alternativement. Il en résulte qu'un maximum peut être moindre qu'un minimum qui ne le précède ni ne le suit immédiatement.

Quand on fait abstraction de leurs signes, un maximum négatif devient un minimum absolu, et un minimum négatif devient au contraire un maximum absolu.

Fig. 12.

Ldi/ig. 12, qui est censée représenter graphiquement la fonclion y =f{x) et oij les maximums correspondent à la lettre M et les minimums à la lettre m, rend ces remarques évidentes, ainsi que celles faites aux n<>* 722, 723, 724., 723.

727. Lorsque Ton fait croître x dans un certain intervalie, la fonction j=/(^) croît continuellement si sa dérivée/* (jt)

reste constamment positive; elle décroît continuellement, si sa dérivée /'(^) reste constamment négative (724).

Par conséquent, la fonction yz=zf(^x) ne peut atteindre aucun maximum ni aucun minimum, tant que, x croissant, la déris>éef'{x) conserve le même signe,

MaiSy si cette dérivée f'{oc) change de signe lorsque x atteint et franchit une certaine valeur ^o, la fonction 7 =:/(^) passe nécessairement par un maximum ou par un minimum

Si f'{x) passe ainsi du positif au négatif, la fonction y=zf{x) diminue après avoir augmenté, et /(a^o) est un maximum de la fonction.

Si/'(^) passe, au contraire, du négatif au positif , la fonction 7 =/(ir) augmente après avoir diminué, et/(:ro) est un minimum de la fonction.

D'ailleurs, /'(^) ne peut changer de signe qu'en s'annulant, si cette fonction dérivée reste finie et continue, ou bien encore en deyendiUl discontinue ou infinie (Algèbre élémentaire, 318 et suivants.)

On arnve donc à ce premier théorème : Les valeurs de x gui conduisent aux maximums et aux minimums de la fonction y^=f{x) doivent être cherchées uniquement parmi celles qui annulent la dérivée f {x) ou qui la rendent discontinue ou infinie, en là faisant CHANâBR de signe.

728. Le plus souvent, les maximums et les minimums de la fonction répondent aux valeurs dear, pour lesquelles /'(j?) change de signe en s'annulant et en restant finie et continue, c'est-à-dire aux racines réelles de Véquation dérivée

On distingue alors les maximums et les minimums à Taide du caractère déjà indiqué (727).

La fonction atteint un maximum lorsqu'elle diminue après avoir augmenté, c'est-à-dire lorsque /'(a?) passe du positif au négatif; la fonction atteint un minimum lorsqu'elle augmente après avoir diminué, c'est-à-dire lorsque/'(^) passe du négatif au positif.

Mais, si /'(a?) passe du positif au négatif, /'(a?) décroît, et sa dérivée /"(a?) est négative; si /'(a?) passe du négatif au positif, /'(a:) croît, et sa dérivée /'(a?) est positive (724.).

632 ALGÈBRE SUPÉRIEDAE,

On peut donc dire encore que le double caractère du maximum est

/'(a:) = o, en même temps que /'(d?)<o,

et que le double caractère du minimum est

/'(j?)z=o, en même temps que f'{x)>o.

La première règle (727) est souvent plus simple à appliquer.

729. L'emploi de la série de Taylor, lorsqu'il est permis, fait retrouver les mêmes résultats, et conduit ensuite à une généralisation nécessaire.

Si Ton se borne aux deux premiers termes de la série (680)y on peut écrire^ pour la valeur spéciale a? = j;«,

Q étant compris entre o et i et h étant supposé infiniment petit, F'(^o+ ^h) diffère infiniment peu de F'(â?o)t en raison de la continuité supposée de la fonction dérivée F' (a?). Si F'(a7o) n* est pas nulUy F'(j7o-^ ^h) a donc le même signe que F'(^o)9 quel que soit le signe de A. Il en résulte que le second membre de la relation (i) et, par suite, son premier membre, change de signe en même temps que A. Si F'(a:o) a une valeur positive,- on a alors

et, si F'(a:o) a une valeur négative, on a

F(j:o— A) > F(xo) > F(xo-h h).

La fonction F(x) est, par conséquent, constamment croissante ou décroissante entre x^—h et j7o-+-A> et xz=:x^ ne peut correspondre à aucun maximum ni à aucun minimum.

Pour que a? = j7o puisse correspondre à un maximum ou à un .minimum de la fonction, il faut qu'on ait, comme précédemment,

Mais, dans cette hypothèse, la série de Taylor, réduite à ses trois premiers termes, devient

(2) F(^o-4- h) - F(a?o) = — F'(xo-+- Bh):

ALGEBRE SUPÉRIEUAE. 633

Et l'on voit, par le même raisonnement» que, si F'(a?o) n'est pcLS nulle y le second membre de la relation (a) et, par suite, son premier membre, ne change plus de signe en même temps que h et conserve, dans l'intervalle considéré, le signe

deF'(d?o).

Si la dérivée seconde F'(a?o) esl négative, F(j?o) surpasse à la fois Y(x^—h) et F(j?o-*-^)> de sorte que F(a?o) est un maximum de la fonction.

Si la dérivée seconde Y'{x^) eslpositive, F(d?o) est moindre à la fois que F{x^—h) et que F{xq-\- A), de sorte que F{x^) est un minimum de la fonction.

On retombe ainsi sur les résultats des n^* 727 et 728. On voit, de plus, que, si Ton avait, en même temps, F'(a:o) = o et Vix^) = o, on ne pourrait rien décider. Il faut donc compléter le premier théorème obtenu, de la manière suivante.

730. Considérons la série de Taylor, sans limiter le nombre des termes du second membre. Nous aurons (676, 677), toujours pour X=:Xq,

¥(xo'^h)--F{xo)

Supposons que la valeur x=zxq annule les n premières dérivées de F(a:), sans annuler la (/i -+- 1)**»», La formule (i) se réduira à

(2) F(a:oH-Â)>-F(Xo)=^ ^ /'"7n -., ,^^'^'^'(^o-^^^)'

Puisque F'*+»(a?o) n'est pas nul, F*^*(jfo-^- ^à), qui en diffère infiniment peu en raison de la continuité supposée de F""*"* (a?) dans Tintervaile étudié, sera de même signe que F'»-*-*(a?o), quel que soit le signe de h.

Cela posé, si n-^-i est impair, A*-*-* changera de signe en même temps que A, et il en sera de même du premier membre de la relation (2), de sorte que, pour xz=ix^, F(j?) n'atteindra aucun maximum ni aucun minimum.

Si, au contraire, /i-h i est pair, A*»^* ne changera pas de

signe en même temps que h et demeurera positif. Le premier membre de la relation (2) conservera donc le signe de F'»-^*(j7o)> Que h soit négatif ou positif. Et, par conséquent, F(^o) ^^''ûj un maximum de F(^) si l*on a F'*'*'*(^o) *<<> ^^» un minimum, si Von a F'*"^*(a:o) > o. Nous résumerons ce qui précède dans l'énoncé suivant :

En général, si une valeur Xq de la variable x annule les n premières dérivées de la fonction V{x) sans annuler la (n -f- 1 )'*"»% cette valeur Xq ne fait atteindre à la fonction ni maximum ni minimum lorsque n -\-i est un nombre im-^ pair, tandis que, sin-hi est un nombre pair, ¥{Xq) est un maximum ou un minimum de F(a:), suivant que F'*'^*(^o) ^ une valeur négative ou positive.

Ainsi, il faut que la première dérivée qui ne s'annule pas soit à' ordre pair pour qu'il y ait maximum ou minimum.

731. 11 n'est pas inutile de remarquer que la fonction proposée étant y = F(j:), on peut mettre la série de Taylor sous la forme (681)

F(j7-h A) — Y{x)=.dy'^- -d'y -h ^d^y-h. ..

dn+iy

On peut donc dire encore que, pour qu'il y ait maximum ou minimum, il est nécessaire que la valeur x = Xf^ annule un nombre impair de différentielles successives dy, d^y^ d^y, . . ., et qu'il y a maximum ou minimum, suivant que la première différentielle d'ordre pair qui subsiste est, pour X = a?o, négative ou positive.

Applications.

732. Nous commencerons par retrouver quelques résultats déjà obtenus en Algèbre élémentaire.