I. Chercher le maximum de la fonction

On a ici

jf'(a:)= a — ax.

Cette dérivée s'annule pour x=s — Elle est positive pour une valeur

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 635

de X un peu plus petite et, négative, pour une valeur de x un peu plus grande. Elle passe donc du positif au négatif, quand x croit en traversant la valeur -• Celte valeur - répond donc à un maximum do/Cx),

et ce maximum, /(- )> ©st égal à y i^Alg, élém,y 285).

IL a étant une constiuitc positive donnée et p et q étant des entiers positifs^ chercher les maximums et les minimums de la fonction

jr = f{x)= xP(a — x)'r,

La dérivée de la fonction est

f'{x) = pxP-^{a — x)i—qxP{a — x)'/-^.

En l'égalant à zéro et en mettant xP-^{a —x)'i-^ en facteur, on obtient

réquation

xP-^(a — x)^-i[/?rt — (p -hq)x] = G.

Elle se partage immédiatement en trois autres

X = G, a — X = 0, pa — {p -h q)x = Of

qui donnent

pa . qa

X = G, X = a. X = — *- — et a — .r = — ^ — •

p-hq p-hq

Les deux valeurs x = o et x = a répondent à/(j:)= o.

Pour une valeur de x un peu moindre que o, c'est-à-dire négative, f'(x) a une valeur négative si 7> > i est pair, et cette fonction dérivée a une valeur positive pour une valeur de x un peu plus grande que g, c'est-à-dire positive. La dérivée passe ainsi du négatif au positif, ce qui est le caractère d'un minimum.

En donnant à x une valeur un peu moindre que a, puis une valeur un peu plus grande, on arrive à un résultat analogue, si 7>i est pair.

f{x) passe donc par un minimum pour x = o, quand p est pair et, pour X = a, quand q est pair, et ce minimum est o.

Enfin, pour une valeur de x un peu moindre que — — > la dérivée

f'(x) est positive, et elle devient négative pour une valeur de x un peu

plus grande que -^ — • Elle passe ainsi du positif au négatif, ce qui

est le caractère d'un maximum.

f{x) passe donc par un maximum pour

pa ^ qa

X = — i- — et pour a — jc = — ^ — • p-hq *^ p-^q

Les deux facteurs x^ia — x soDt alors proportionnels à leurs exposants respectifs p ei q et, pour obtenir leurs valeurs, il suffit de partager leur somme a proportionnellement à ces exposants {Alg. élan,, 297). Le maximum de F(x) est alors

m. Chercher le maximum et le minimum de la fonction rationnelle {Alg. élém,, 315 et suiv.).

r, . ax^ -h bx -hc

Nous aurons, pour la dérivée de la fonction, en simplifiant et en ordonnant,

r// X (ab*—ba')x^-i-ii(ac''^ca)X'h(bc''-cb') <^> ^ ^^>= (a'x^-^b'x^cy

Les valeurs de x qui annulent f'{x) annulent aussi le numérateur de Texpression (2). Nous poserons donc

(3) {ab'—ba')x^'^^iac'—ca')x-^{bc'—cb')=zo.

11 faut, bien entendu, que les racines de cette équation n'annulent pas en même temps le dénominateur de Texpression (3).

Nous devons considérer en outre les valeurs de x qui rendent ce dénominateur infini, sans faire prendre une valeur analogue au numérateur.

Or, pour X = ± 00, f'(x) se présente sous la forme — • Mais cette in-

détermination répond en réalité à la valeur zéro, puisque le degré du numérateur de Texpression (2) est inférieur à celui du dénominateur (712, 5**). Nous mettrons donc à part cette valeur particulière j:=d:ao qui annule /'(^) sans correspondre à un maximum ou à un minimum.

Revenons à Téquation (3). Si l'on désigne par xi et x^ les racines de cette équation, elles feront connaître respectivement un maximum et un minimum de/(x), qui auront pour expressions /(xi) et/(xs).

Pour décider entre le maximum et le minimum, il restera à détermî*ner les signes pris par/'(-x^) pour des* valeurs de x un peu plus petites et un peu plus grandes que xt et que x^.

Cette méthode est, au fond, identique à la méthode élémentaire. Nous allons l'appliquer à Texemple numérique déjà traité {Alg, élém,^ 320), c'est-à-dire à la fonction

Nous en déduirons

On voit que/*(x) s'annule pour .r = — 2 et pour x = o.

▲L6EBRB SUPéRlBORE. 687

Lorsque x atteint, en croissant depuis — », la valeur — a et la dépasse, /'(^), positive jusque-là, devient négative, x =~ a répond donc

à un maximum de/(x), qui est/(— 2)= --

Lorsque x atteint, en croissant toujours, la valeur o et la dépasse, f'{x\ négative depuis x = — 2, redevient positive, x = o répond donc à un minimum de/(x), qui e8t/(o) = — i.

Pour montrer combien l'emploi de la dérivée simplifie les discussions de cette espèce , construisons la courbe représentative de la fonction

Lfig' 13).

Pour x = =poo, on a évidemment (7i2, 5') r = i. La droite H' H menée parallèlement à Taxe des x, à la distance OB = i, est donc une asymptote de la courbe.

Pour des valeurs négatives de x, très grandes en valeur absolue et

jusqu'à X = — 2, la dérivée /'(x) est positive. La fonction j^ va donc en croissant constamment (724), et la courbe commence par s'élever au-

dessus de son asymptote. Elle atteint ainsi son point maximum M, qui

répond à x = OÂ = — 2 et dont l'ordonnée MA = r • Au delà, la dérivée /'(x) devient négative et le demeure tant que x reste négative. y diminue donc, et la courbe descend vers l'axe des x. Gomme on a

X — I pour

X* — X — l = x*-Hx-+-i,

c'est-à-dire pour x = OC = — i, elle coupe son asymptote au point correspondant D. Elle la rencontre aussi à l'infini, puisque, le coefficient du terme en x* dans l'équation précédente étant égal à zéro, cette équation admet encore pour racine x =3 d= 00 (^^. élém., 241). Comme xss+oo rend /'(x)=:o, l'asymptote H'H est, en réalité, une tangente à la courbe à l'infini et dans les deux sens. La courbe continue à descendre au delà du point D, jusqu'à ce

638 ALGÈBRE SUPÉRIEUEE.

qu'elle parvienne à son point minimum m, qui répond à jr = o et à y = Om = — I.

Après ce point minimum, x devenant positive, la dérivée /'(x) redevient elle-môme positive, et la fonction recommence à croître indéfiniment, puisque sa dérivée no change plus de signe.

La courbe, en descendant après son point maximum et en remontant après son point minimum, coupe nécessairement deux fois l'axe des x.

On a, en effet, pour j^ = o,

X* — X — i=o ou x= — •

Les points où la courbe traverse l'axe des x ont ainsi pour abscisses

x=-OI=: '"^^ =--o,6i8 et .r = OJ=i=tX? =i,6i8.

L'ordonnée / redevient positive à partir du point J; mais la courbe, en montant, ne pouvant plus rencontrer son asymptote qu'à l'infini, reste constamment au-dessous en s'en rapprochant indéfiniment dans le sens H.

733. IV. Chercher le nombre x dont la racine x est un maximum,

La fonction dont il faut chercher le maximum est

Mais les logarithmes croissant en môme temps que les nombres quand la base est plus grande que i, il revient au même de chercher le maximum de la fonction

f{x) = Ix' = — Ix,

On a alors

. i — lx

Cette dérivée s'annule pour lx=zi ou pour a; = e. En remar^ quant que, si Ton passe, pour Xy d'une valeur plus petite que e à une valeur plus grande que e^f\x) passe du positif au négatif, on voit que x-=Le répond à un maximum.

Par suite, la fonction proposée x* a pour maximum ê.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 6ig

734. V. Problème de Viviani, — On donne les deux parallèles AB, CD, et la sécante BC. Mener par le point déterminé D la sécante DXY telle, que la somme des triangles BXY, CXD, soit un minimum {fig* i4)-

Nous poserons CD rr a, CB = b^ CX = x^ et l'angle BCD = a.

Fig. \\.

L*aîre du triangle CXD a pour expression {Trigon., 153)

CXD = -axsina.

L'aire du triangle BXY a de même pour expression

BXY=-(6 — ^)BYsina.

La similitude de ces deux triangles donne d'ailleurs

BY BX „ , pv ^--^

CD = GX' doù BY = a-^-.

11 en résulte

r»vTr ï {b--Xy .

BXY = - a i sin a.

La fonction dont on a à chercher le minimum est donc

- a 07 -h ^ sma

ou, en laissant de côté le facteur constant -a sin a,

En égalant à zéro la dérivée /'(x), on trouve

lib — x)x -^^ {b — xy , ,,

I i -— ^^ ^ =0 ou 2^*— W*=0.

64o On en déduit

▲LGfeBRE SUPÉRIEURE.

Cette valeur, qui est représentée par la moitié de la diagonale du carré construit sur 6, répond bien à un minimum ; car, pour une valeur un peu plus petite de x^ la dérivée f\x) est négative, et, pour une valeur un peu plus grande, elle devient positive. Ce minimum a, d'ailleurs, pour expression

ab(^ — i) sîna.

735. VI. Étant donné un tronc d'arbre de longueur suffi-santé, on demande de le transformer en poutre rectangulaire présentant le maximum de résistance à la flexion

Fiç. i5.

Supposons que le cercle 0 représente la section de l'arbre à l|état primitif. Soient b la base et h la hauteur de la section rectangulaire qu'on .veut obtenir en enlevant les dosses. D'après la théorie de la flexion plane des solides, on sait que la résistance de la poutre est proportionnelle au produit 6A'. C'est donc ce produit qu'on doit rendre maximum. En appelant D le diamètre de la section circulaire de l'arbre, on a

et le produit bh^ devient

ou

£n prenant la dérivée de cette expression par rapport à b et en i*égalant à o, on trouve évidemment

D«— 6«— 2^»» = o ou ^*=^-

Il en résulte

h-=Z —rr-- et TT

ou

Ce rapport. s'éloigne très peu, comme on le voit, des rap-

5 7 ports pratiques - et — habituellement établis entre la base b

et la hauteur h des poutres rectangulaires placées ^wr champ. La construction géométrique qui permet de tracer immédiatement sur la section circulaire les traits de scie qui doivent transformer l'arbre en poutre rectangulaire de résistance maximum, est très simple. On mène (/ig. i5) le côté AB du carré inscrit, on le reporte par un arc de cercle sur la tangente AB', et Ton joint le point B' obtenu au centre 0. La perpendiculaire CD abaissée, du point de rencontre C

h de B'O avec la circonférence, sur le rayon OA, représente -

et OD représente -• On a, en effet,

OD OA OA __ J v5 CD ""AB'-QAvï'v/^" 2 '

736. VIF. Problème de Fermai. — On suppose deux milieux physiques différents séparés par un plan indéfini P et, dans chacun de ces milieux, un point A et un point B. Un mobile, partant du point A et aboutissant au point B, se meut dans le premier milieu avec une vitesse uniforme u et, dans le second, avec une vitesse uniforme v. On demande de déterminer le chemin que doit suivre le mobile pour se rendre du point A au point B dans un temps qui soit un minimum {fig. i6).

On sait que, dans un mouvement uniforme, l'espace parcouru dans un temps donné est égal à la vitesse multipliée par le temps.

Db c. — Cours, ni. 4 '

ÀU&BBBX SUPémiBURK»

Il est éYÎdent, d'après ceia^ que, dans chaque milieu, le chemin parcouru, doit être rectiligne» puisque, les vitesses correspondantes étant constantes, les temps employés sont proportionnels aux chemins décrits. Le chemin total qu'on veut découvrir est donc une ligne brisée.

Fîg. i6.

11 est facile de voir que cette ligne brisée est nécessairement dans le plan ACBD déterminé par les perpendiculaires AC et BD au plan P.

En effet, admettons que cette ligne brisée soit la ligne AEB non située dans le plan ACBD, et. abaissons du point E où elle rencontre le plan P la perpendiculaire £F sur CD. Si Ton joint le point F aux points A et B, les triangles AFE, BFE, rectangles en F, montrent que le mobile parcourra le chemin AFB on moins de temps que le chemin AEB.

Supposons donc que la ligne brisée décrite par le mobile dans le temps cherché soit la ligne brisée AHB située daas le plan ACBD.

Nous poserons AC == a, BD = ^, CD = c, CH — x^ Nous aurons, par suite,

AH

Sla>

cl le temps employé à parcourir AH sera exprimé par

sja

De môme, nous aurons

ALGÈBIE SUPéllIBURE«. 643

et le temps employé à parcourir HB sera exprimé par

La fonction dont on doit trouver le minimum est donc

£n égalant à zéro la dérivée de cette fonction et en simplifiant, on a évidemment

(1) f'(^a:)=,.—Jt ^o.

u va*-f- X* r v6'-+- (c — xy

Pour résoudre celte équation, il faut la mettre sous la forme

u^a^-\-x* v^b^-\-{c — xy

et élever ses deux membres au carré. En chassant les dénominateurs, on obtient ensuite l'équation complète du quatrième degré

qui est Téquation du problème.

Au lieu de chercher à la résoudre, menons par le point H la normale NN' au plan P. Désignons par i Tangle d'incidence AHN et, par /•, l'angle de réfraction BHN'. La figure donne alors

smCAH = sm« =r -7= =