Remarquons que l'on a, d'après l'équation
dy dx
dx df
Il en résulte que, si les dérivées partielles -J- ^^ —, s'an-
ALGÈBRE SUPÉBIEURE. 645
nulaient simultanément pour des valeurs de j? et de 7 satisfaisant à réquation (1) [737], les équations (2) et (3) se trouveraient à leur tour satisfaites, sans qu'on eût pour cela
dy
-^ =zo, et les valeurs correspondantes de a: ne répondraient
plus, en général, à la question.
739. Pour distinguer un maximum d'un minimum, il faut recourir aux dérivées d'ordre supérieur.
En différentiant l'équation (2) et en divisant par dx, on trouve (667)
^ d.x* dx dy dx dy^ dx^ dy dx^ '
dv c'est-à-dire, puisque -~ est supposée égale à zéro,
d*y dx^
dx*~' ^*
Le signe de cette seconde dérivée -j-^j pour les valeurs de ^ et de j qu'on étudie, tranchera la question. Le minimum
i\Q y répondra à -7-^ >o et le maximum, à ^-^ < o [728].
d^t d}f Il est entendu que les quantités , •\ et ^ [équation
(2 bis)] ne s'annulent pas pour ces mêmes valeurs de x et
de j (738).
Si l'on avait -7^1=0, il faudrait consulter les dérivées
ax'
d'ordre supérieur suivant la règle du n^ 730.
740. Exemple. — Soit la fonction implicite (i) /(a?,j^)=:j»— 3j?/-+-a?»=o, dont on demande les maximums et les minimums.
On en déduit
646 ÀLGÈB&E SUPéRIEDRE.
On en déduit (737)
En combinant les équations (i) et (2) et en éliminant entre elles la fonction y^ on obtient évidemment
a?* — 2^'=;r'(a:' — 2) nzo,
c'est-à-dire
xz=LO et x^=. ^.
Les valeurs correspondantes de y sont
7 = 0 et 7 = v^.
L'équation (i) donne d'ailleurs
dy ^
Le premier système de valeurs (j:=i 0,^ = 0), annulant -^> doit être rejeté (738). Quant au second système
qui n*annule pas ^9 il répond à un maximum ou à un minimum.
En formant (739) l'expression
dx*
dy
dx* ~
Zy^ — 3^ y^ — X
on voit que la fonction y passe par un maximum pour a? = y^ et que ce maximum est ^%.
7I1I. Passons au cas général, et admettons qu'on ait à considérer m variables a-, 7, -c, w, . . ., liées entre elles par les m — I équations
/jv j /î {^yy>^yU, ...) =10,
ALGÈBRS 'STTPé&XEUaB. 6^7
Si Ton veut troirver les valeurs maximums H minimums dé l'une des variables, / par exemple, on prendra l'une quelconque, a:, des autres variables comme variable indépendante. La condition d'un maximum ou d'un minimum sera alors, dans le tas ordinaire,
D'après cela, en diJOTérentiant les équations (i), en divisant
dv par dx et en supprimant tous les termes où entre —> on
aura
da; dz dx du dx '
( 2 ) { dx dz dx du dx " '
dfnt-\ ^ àfm-i dz ^ 4Ai~l du ^ ^
dx dz dx du dx
En éliminant les m — 2 quantités ~i -r-? •••> entre les
dx dx
m — I équations qui forment le système (2), on arrivera à une relation
(3) F(x,7,5, tf, ...) = o
entre les m variables considérées; et cette relation, jointe aux m^i équations qui forment le système (i), permettra de détei'miner les valeurs de ^, /, -5, w, . . ., qui peuvent répoodre à des maximums ou à des minimums de/.
7^2. Si l'on avait à chercher les maximums et les minimums d'une fonction explicite de m — i variables, telle que
(i) ('=iF(a',/,4;, «, ...),
ces m — î Tariables étant liées par les m — 2 équations
fi{x,y,z. M, ...) =0,
ce cas particulier rentrerait dans le cas général (7^1)^
En effet, on n'aurait qu'à joindre aux /n — 2 équations (q) l'équation (i) mise sous la forme
V — F(j:,7, -, Uy . ..) = o.
On aurait ainsi, comme dans le cas précédent, m variables ^f^yj^f^y «» • • •> ïîées entre elles par m — i équations, avec cette unique difTérence que la variable i^ dont on veut chercher les maximums et les minimums ne se trouve que dans une seule des équations considérées.
743. Exemple. — On donne le volume d'un cylindre de résolution, et l'on demande de déterminer ses dimensions de manière que sa sur/ace soit un minimum.
Résoudre cette question, c'est obtenir pratiquement une capacité donnée sous forme cylindrique, avec la moindre dépense de matière.
On peut distinguer deux cas, suivant que le cylindre est ouvert ou fermé à sa partie supérieure.
i<> Le cylindre n*a pas de couvercle.
Nous désignerons par V le volume donné du cylindre, par S sa surface, par x le rayon de sa base et par y sa hauteur. Les deux équations du problème seront
\ Tzx-y — V = o,
ikTZxy
On a ainsi trois variables S, ^, 7, liées entre elles par les ^deux équations (i), et il s'agit de trouver le minimum de S en prenant, par exemple, x comme variable indépendante. La condition du minimum sera alors
\ 2 7r^y-H7rx*— S = 0.
dx
Nous différentierons donc les équations (1), nous diviserons ensuite par dx et nous n'écrirons pas les termes conte-
nant -^ (7M). Il viendra, en supprimant les facteurs communs TU et 27r,
^dy
(^) ^ dy
En éliminant-— entre les équations (2), on trouve facilement
(3) xy — a7*=o ou ;r=:j.
L'équation (3), jointe aux équations (i), permet de trouver les valeurs de x^ de y et de S, qui répondent au minimum de S. Par suite de réquation (3), les équations (i) deviennent
TTX' — V:=: O,
3710?' — s ==0, et Ton en déduit
Pour vérifier qu'il s'agit bien d'un minimum» reprenons les équations (2), en conservant dans la seconde le terme
d'abord négligé -r-$ et différenlions-les de nouveau,
2 TT uX
en divisant ensuite par dx. Nous aurons
dv dy ^d} Y
dy dy d'y i d*S
dx dx dx* 2 7: dx* '
c'est-à-dire
, dy , d^Y
dy d'y 1 d^S
dx dx* 2 71 dx*
En éliminant -— entre ces deux équations, on trouve
(5) 2y — x-\- IX -j- -x -7— T = o.
^ ' • "^ dx 2 7T ax*
D'après la première des équations (2), on a
dy ___ 2 r dx~^ X
65o ALGÈBIUE SUPÉaiETTRE.
L'équation (5) donne donc
cf*S 27:- , ^
OU, d'après l'équation (3),
dx
Cette valeur étant plus grande que zéro, les résultats précédents répondent bien à un minimum.
Ainsi, la surface du cylindre ouvert est un minimum quand sa hauteur est égale au rayon de sa base.
2* Le cylindre a un couvercle.
Les équations (i) sont ici
iTZX^Y — Vz=o, iTzxy -f- l'Kx^ — s = o.
En différentiant ces équations comme dans le premier cas
et en supprimant le terme -r- qui doit être nul pour tout
maximum ou minimum, on a
ixy^x'^-^^o.
dy y -^ X -f- H- 2 a: =: o.
•^ dx
En éliminant -^ entre ces équations, on trouve
(3) ix^y.
Les équations (i) deviennent donc
2TZX^ — V=i0, 47rJ7*-h 27: uC* — s =: o,
et Ton en déduit
(4) x = ^ = i/—^ S = ÔTT k/^ = 3 v^i'ïrVî. ^ 2 y 27: y 4îî
En rétablissant dans la seconde des équations (2) le terme
d'abord supprimé -j-> en difTérentiant ensuite ces
^^ air dx
équations et en éliminant entre les résultats obtenus ^-^>
on trouve finalement
(5) aj-aa: + 2^^-f--^,=o.
dy
En remplaçant -^ par sa valeur tirée de la première des
équations (2), on a donc
relation qui devient, d'après l'équation (3),
da;
C'est donc encore à un minimum que conduisent les résultats précédents.
Ainsi, fa surface du cylindre fermé est un minimum^ quand sa hauteur est égale au diamètre de sa base*
Mazimams et minimiims des fonctions de plusieurs variables
indépendantes.
Ikk. Supposons une fonction de plusieurs variables indépendantes x^ yy z^ . . . , que nous représenterons par
Soient jto, /o> -^o» •••> des valeurs particulières de x, y y
z, Désignons par /i, A, /, . . . , des quantités aussi petites
qu'on voudra en valeur absolue, et pouvant varier de — C h -+- C, en représentant par C une quantité positive aussi petite qu'on voudra.
Si l'on a constamment
pendant que les accroissements h, k, l, . . . , parcourent l'intervalle (— C, -h C) ou que x,y, z, . . ., parcourent les inter-
65a ALGEBRE SOPÉRIEURE.
valles (j?o— C, ^o+C)> (yo—^^yo-^C), (so—C^za-hOy ..., la fonction i^ atteint un maximum, quand les variables jc, y, z, ..., passent par les valeurs spéciales Xq, y^, Zq, ..., et F(a7o, j'o» ^0, • • 0 est ce maximum de v. Si Ton a, au contraire, constamment
dans les mêmes circonstances, la fonction ç atteint un minimum, quand les variables a?, 7, 5, . . ., passent par les valeurs spéciales Xq, /©» Zq, . . ,, et F(a?o, Vo, ^o> • • •) est ce minimum de i>.
Il est facile de trouver la condition générale, commune aux maximums et aux minimums, en revenant, comme il suit, aux fonctions d'une seule variable.
Admettons que v ou la fonction F atteigne un maximum ou un minimum pour x=zay y=^b, z=zc^ ...; on pourra, pour un instant, supposer que j, 5, . . ., sont des constantes />, c, . . . , et que x seule varie. La fonction F deviendra une fonction d*une seule variable x; et, puisque, par hypothèse, elle passe par un maximum ou par un minimum pour xz=za,
on devra avoir pour cette valeur F^ ou -t- nulle, infmie ou
€iF
discontinue (727). Le plus souvent (728), la dérivée -r-
change de signe, en s*annulant et en restant finie et continue. Le même raisonnement pouvant être répété pour les autres variables r, 5, . , ., on voit que les valeurs de x, y^z^ . . ., qui rendent r ou la fonction F un maximum ou un minimum, doivent être cherchées parmi les valeurs qui rendent les dé-
. ,, ^F dF dF i, ' r • ^•
rivées partielles -j-j -j-y -y^y •••> nulles, infinies ou aiscon-
ax a Y a»f
tinues ou, le plus souvent, parmi celles pour lesquelles ces
dérivées changent de signe en s' annulant et en restant finies
et continues,
74.5. Lorsque ces dérivées partielles demeurent continues dans rintervalle considéré, on peut retrouver le même résultat par la série de Taylor, et s'en servir ensuite pour distinguer entre les maximums et les minimums.
Pour plus de simplicité dans récriture, nous supposerons seulement trois variables indépendantes.
La série de Taylor peut s'écrire (686, 687), en n'allanl pas au delà des premières puissances des accroissements,
F(x-i- //,7-4- A:, 5-4- /) --F(x,7, 3) ziz — /i -i- — A: 4- ^ /+ R.
Pour des valeurs absolues infiniment petites de /t, A:, /, le reste R est négligeable devant les termes qui le précèdent, toutes les fois que ces termes ne sont pas nuls. Or, ces termes, dont l'ensemble détermine alors le signe du second membre et, par suite, du premier membre de la formule, changent de signes sans changer de valeurs quand on remplace A, A:, /, par— A, —A:,—/. Il en résulte que le premier membre change lui-même de signe, quand on traverse les valeurs supposées de a?, /, z^ et que ces valeurs ne peuvent répondre à aucun maximum ou minimum.
Pour que la fonction F puisse atteindre un maximum ou un minimum, il faut donc qu'on ait, à la fois,
d¥^ dF dF
dx ' dy ' dz
C'est la conclusion déjà énoncée {Ikk).
11 nous reste à chercher à quels caractères on peut reconnaître un maximum ou un minimum.
Nous considérerons successivement une fonction de deux variables et une fonction de trois variables indépendantes.
7^6. Cas d'une fonction de deux variables. — Soit la fonction
En n'allant pas au delà des deuxièmes puissances des accroissements, la série de Taylor peut s'écrire
F(a:-f-A,7-hA:)-F(x,7)
\dx dy } 2 \^dx^ dx dy dy^ J
Supposons que x ^\. y reçoivent des valeurs telles, que l'on
ait à la fois
Ibc ' dy
Ces valeurs pourront correspondre alors à un maximum ou à un minimum de la fonction F.
Pour décider, nous remarquerons que le signe du second membre de la formule et, par suite, de son premier membre, sera, dans l'hypothèse admise, le même que celui du trinôme du second degré
^F ^F rf»F
Il faut donc, pour qu*il y ait majcimum, que la valeur de ce trinôme reste constamment négative, quels que soient les signes et les valeurs absolues des accroissements h et Ar, pourvu que ces valeurs soient suffisamment petites; pour qu'il y ait minimum, il faut que la valeur de ce trinôme reste, dans les mêmes conditions, constamment /7oràir« (7U>).
Pour n'avoir qu'une variable, nous poserons A: = pA, en désignant par p le rapport algébrique, d'ailleurs arbitraire, établi entre k et lu Le trinôme (i) pourra alors s'écrire, en faisant abstraction du facteur A* toujours positif et en renversant l'ordre des termes,
^F . rf»F rf«F
Or ce trinôme, du second degré par rapport à p, n'aura que des valeurs négatives, si le coefficient de son premier terme est négatif et si, lorsqu'on l'égale lui-même à zéro, les racines de l'équation correspondante sont imaginaires {Alg. élém,, 252).
Les conditions du maximum sont donc (Alg, éiém.y 237)
Le même trinôme (2) n'aura que des valeurs positives, si le coefficient de son premier terme est positif et si, lorsqu'on l'égale lui-même à zéro, les racines de l'équation correspondante sont encore imaginaires.
Les conditions du minimum sont donc
ALGÈBUE SUPÉAIET7&E. 655
On voit aisément que, dans les deux hypothèses, -i-j et -T-^ ont nécessairement le même signe.
