PREMIÈRES NOTIONS SUR LES INTÉGRALES

Définitions et théorèmes fondamentaux.

755. Dans ce qui précède, nous avons étudié tes différentielles des divers ordres des fonctions quelconques d'une ou de plusieurs variables, et les questions analytiques qui s'y rattachent. Nous ne pouvons terminer sans dire quelques mots des intégrales.

Le Calcul intégral est Tinverse du Calcul différentiel, et il a pour but, d'une manière générale, la recherche des fonctions d'après leurs différentielles.

Nous nous bornerons, dans ce Chapitre, à exposer les principes fondamentaux de ce calcul inverse et à indiquer rapidement les méthodes d'intégration les plus simples, afin de pouvoir les appliquer au besoin en Géométrie analytique (t. V).

Il ne s'agira, bien entendu, que de fonctions d'une seule variable.

756. Considérons d'abord une courbe quelconque AB, rapportée à des axes rectangulaires Oa? et 0/ {fig- '7).

L'aire comprise entre une ordonnée fixe AC, une ordonnée quelconque MP, l'arc de courbe correspondant AM et l'axe 0^, est nécessairement une fonction de V abscisse x = OP du point M, puisqu'elle varie avec la position du point P, le point M variant alors lui-même sur la courbe.

Si l'on désigne par u l'aire ACPM, l'aire MPP'M', qui répond à l'accroissement Lx = PP' de x^ sera à son tour Aw.

Menons respectivement, par les points M et M', des parallèles MI' et M'I à l'axe Oo?, jusqu'à la rencontre des ordon-

nées M'P' et MP, et supposons, sans que cela soit absolument nécessaire à la démonstration, que les points H et M' sont assez rapprochés pour que l'ordonnée r de la courbe varie toujours dans le même sens de Tun à l'autre. Nous aurons évidemment rM'= A^, et Taire ù^u sera comprise enlre

Fij. 17.

les aires des deux rectangles M PPT et IPP'M'. On pourra donc poser (dans le cas de la figure)

j Ax < Aa <(/ H- A^) A^,

c'est-à-dire, en divisant par Ajt,