AÏ

ou, en passant à la limite, et Au comme A/ tendant vers zéro en même temps que Aj? (53i-),

du

et

du =z y dx.

On arrive ainsi à ce résultat qu'il importe de retenir :

Les axes étant rectangulaires, la dérivée de l'aire d'une courbe, entendue dans le sens indiqué, est, d'une manière générale, égale à l'ordonnée de cette courbe.

Si, au lieu d'employer des axes rectangulaires, on employait des axes obliques faisant entre eux l'angle 6, les deux rectangles qui comprennent l'aire Au seraient remplacés par deux parallélogrammes ayant leurs côtés parallèles aux axes et ayant pour aires respectives ( Trigon,, 1S3)

/Arsind et (j 4- A^) Aa?sînô.

On trouverait donc, dans cette hypothèse,

-7- z^ysinô et du =z y cLr ^inO. ax

757. Passons à la recherche de l'aire totale comprise entre les deux ordonnées fixes AC et BD, Tare de courbe correspondant AB et Taxe Ox {fig. i8).

Fie. i8-

Divisons la portion CD de Taxe Ox qh n parties, égales ou inégales, mais devenant toutes infiniment petites quand n devient infiniment grand. Sur ces divisions comme bases et avec les ordonnées correspondantes de la courbe, construisons des rectangles intérieurs et extérieurs à cette courbe AB, comme Tindique la figure. Par exemple, sur la division PP' qui répond à Taire curviligne MPP'M', nous obtiendrons le rectangle intérieur MPPT et le rectangle extérieur IPP'M'.

L'aire ACDB est, à la limite, la somme d'un nombre infiniment grand de parties infiniment petites, telles que MPP'M'.

Or, les deux rectangles M PPT et IPP'M', qui comprennent entre eux Taire curviligne MPP'M', ont même base, et leur rapport est celui de leurs hauteurs MP ou y el M'P' ou/ -h A/. Ce rapport, à la limite, est donc égal à Tunité, et il en sera de même, a fortiori, du rapport de Taire MPP'M' à celle de Tun des deux rectangles.

On a, par conséquent, le droit, d'après le second principe fondamental de la Méthode infinitésimale (529), de remplacer, dans la recherche qu'on poursuit. Taire MPP'M' et toutes les aires analogues par celle de Tun des deux rectangles qui les comprennent respectivement. En choisissant,

par exemple, le rectangle intérieur dont Taire est exprimée parj Aa?, on aura

x=OD

aire ACDB = « = lim V y Aa?.

La caractéristique V indique , comme à l'ordinaire, la

somme de toutes les quantités analogues au produit /Ax contenues dans Tintervalle déterminé par les valeurs extrêmes de or, c'est-à-dire par OC et par OD.

Nous avons supposé {fig^ i8) que l'ordonnée de la courbe AB croissait constamment dans l'intervalle considéré. Si l'ordonnée était constamment décroissante, le même raisonnement subsisterait. Comme on peut, d'ailleurs, partager Taire totale à évaluer en portions pour lesquelles l'ordonnée de la courbe varie toujours dans le même sens, le raisonnement précédent s'applique fmalement à un arc de courbe présentant, relativement à son ordonnée, des alternatives quelconques de croissance et de décroissance.