Reprenons Texpression

x=OD

u z=z lim V y A^,

ar=OC

et faisons croître n indéfiniment.

ùkx deviendra inûniment petit, et Ton pourra le remplacer par dœ^ puisque ce sera l'accroissement inQniment petit de l'abscisse. On aura ainsi ydx^ différentielle de u [756], au lieu de y Ax. £n même temps, on remplacera la notation

x = OD

par la notation

lim y] / Aa?

x = OC »^x=OC

qu'il faut lire somme intégrale ou Intégrale de tous les éléments différentiels de Taire u.

.rssOD

L'expression V 7 A^ n'indique qu'une valeur approchée

x=OC

de Taire ACDB, et elle ne devient exacte qu'à la limite. L'ex-

ydx représente exactement l'aire ACDB ou -.:ot:

la somme complète de ses éléments, et c'est pour cela qu'on donne le nom à^ intégrale à cette seconde expression.

L'ordonnée y de la courbe AB étant aussi une fonction de X que l'on désignera par /(^), on peut, en posant en outre OC = a?o et OC = ^Tj, écrire l'intégrale précédente sous la forme

\ f{x)dx.

Comme les limites en sont indiquées, cette intégrale est dite une intégrale DÉPiifiE^ prise depuis l'abscisse Xq jusqu'à r abscisse Xi.

Par convention, on place la limite inférieure au bas du

signe / et, la limite supérieure, au haut de ce signe.

Calculer, au point de vue où nous nous sommes placé, une intégrale défmie, c'est effectuer une quadrature, puisque c'est déterminer une aire telle que ACDB, ou le carré équivalent à cette aire.

759. Le problème qu'on vient de traiter donne la solution de la question posée par le Calcul intégral (755), solution qui, d'une manière générale, existe toujours.

En effet, si/(^) est une fonction réelle de la variable indépendante Xj supposée continue entre les limites fixes Xq et Xi, on pourra toujours trouver une fonction ayant pour diflférentielle/( j:)c^a7 ou pour dérivée /(j?), entre les mêmes limites. Il suffira pour cela de construire {Jig, 19) la courbe AB, dont réquation ou l'ordonnée est

Si l'on mène alors les ordonnées CA et PM qui répondent à l'abscisse fixe x^ et à une abscisse variable x comprise entre Xo= OC et j;,= OD, l'aire ACPM sera (756, 758) une

fonction F(a:) ayant pour différentielle /(;r)^jc ou pour dérivée/(^), entre les mêmes limites.

Ui

Fig. 19.

Nous énoncerons donc ce premier théorème : 1. La limite de somme représentée par

f{x)dx

est une fonction de la variable x ayant pour différentielle f{x)dx ou, pour dérivée, /{x).

On peut l'exprimer en écrivant

^ /{x) dx — /{x) dx 'OU D / /{x)dx=zf{x).

La limite inférieure Xq étant fixe, on a une intégrale définie (758), si la limite supérieure x^ est également fixe. Si cetle limite supérieure demeure variable, on dit, simplement, que V intégrale est prise à partir de x^^.

760. Quand on donne une fonction, quelle qu'elle soit, sa différentielle ou sa dérivée est, comme on Ta vu, complètement déterminée.

Le problème inverse admet, au contraire, un nombre illimité de solutions; et Y intégrale d'une différentielle f{x)dx est susceptible d'une infinité de valeurs.

Supposons, en effet, qu'une fonction ¥{x) ait pour différentielle/(j7)c/-r. Si l'on ajoute à cette fonction une constante arbitraire C, la nouvelle expression

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 67 I

aura la même différentielle, puisque toute constante disparaît dans la différentiation d'une somme (568). Et, comme deux fonctions qui ont la même différentielle ne peuvent précisément différer que par une constante (5t^9, 54>3), toutes les fonctions qui répondent à la question seront comprises dans

l'expression générale

On pouvait s'attendre, d'après ce qui précède, à cette indétermination spéciale; car nous avons choisi, aussi arbitrairement (759), Tabscisse fixe x^ ou OC. En partant {fig. 19) de l'abscisse OC, on aurait obtenu une aire différente A'C'PM, ayant encore pour différentielle /(;r)û?j?.

L'expression générale

est dite Tintégrale indéfinie ou, simplement, Tintégrale de la différentielle f{x)dx, et on la représente, sans indication de limites, par la notation

f{x)dx.

Nous résumerons ce que nous venons de dire dans ce deuxième énoncé :

IL Lorsque Von a trouvé une fonction F (or) dont la différentielle estf{x)dx ou la dérivée f{x)y pour toute valeur de X comprise dans un intervalle déterminé, on obtient toutes les fonctions qui jouissent de la m,ême propriété en ajoutant à la première F (a?) une constante arbitraire C.

Des intégrales définies. — £limination de la constante.

761. Toute intégrale définie est évidemment comprise dans l'intégrale indéfinie correspondante, et répond à une certaine valeur de la constante arbitraire C.

Ordinairement, le problème posé permet de connaître quelle valeur X© la fonction générale F (a?) 4- C doit prendre pour une certaine valeur x^ de la variable x. On peut alors éliminer immédiatement la constante, puisque l'on doit avoir

F(xo) 4- C r- Xo, d'où G = Xo- F(aro),

6']2 ALGEBUE SUPÉRIEURB.

et la fonction générale devient

F(a7) — F(^o)4-Xo.

Le plus habituellement, elle doit s'annuler pour a: = Xq, on a alors Xo= o, et elle prend la forme

F(x)-F(xo).

On peut écrire, dans ce cas, sans constante arbitraire

et cette expression est celle de Taire ACPM (Jiff. 19), a:^ répondant à Tabscisse fixe OC, et l'abscisse x =• OP restant variable.

Si Ton donne à ^ la valeur déterminée 0:,=: OD, l'intégrale devient elle-même complètement déterminée, c'est-à-dire que l'on a V intégrale définie de la différentielle f{x) dx

(3) r f{oo)dx =V{x,)-¥{x,),

prise depuis x -=^Xq jusqu'à x^ix^y et ayant pour valeur l'aire ACBD.

Nous pouvons donc énoncer ce dernier théorème fondamental, conclusion de tout ce qui précède :

III. L* intégrale définie de la différentielle f{x)dx, prise de x-=i Xq à x^=zXyy est la limite vers laquelle tend la somme des valeurs de la différentielle f{^x)^x ouf{x)dxy lorsque x varie d'une manière continue, c'est-à-dire en prenant des accroissements successifs infiniment petits, dans l'intervalle considéré,

762. Ainsi, en se plaçant au point de vue du calcul, et Vaccroissement fini d'une fonction étant égal à la somme des accroissements infiniment petits qu'elle prend successU^ement dans l'inten^alle proposé (5W), on voit que, pour déterminer une intégrale définie telle que (3) [761], il faut trouver la fonction ¥(x) dont la dérivée est f{x) ou la différentielle f{x)dx, remplacer dans cette fonction F{x).la variable x par sa limite supérieure x^y puis par sa limite inférieure Xj, et retrancher le second résultat du premier.

ALGEBRE SUPÉRIEURF* 678

Il est entendu, pour le moment, que/(a?) conserve une valeur finie et continue depuis ar = a?o jusqu'à j?=: j?,, et que les deux limites j^o ^^ ^i sont elles-mêmes finies.

763. Voici quelques remarques essentielles au point de vue des applications :

!• Les signes d et f représentent des opérations inverses l'une de Tautre et se détruisent mutuellement lorsqu'on les superpose.

On a donci par définition même et en laissant la constante de côté,

(4) d Çf{x)dx—f{x)dx et ÇdY{x) = ¥{x).

2« Quand on inten^ertit l'ordre des limites, on change le signe de l'intégrale définie.

On a, en effet, par convention (758, 762) et F'(j?) étant égale à /(x),

^ ^/{x)dx^F{x,)-F(xo),

et il en résulte

(5) f 'f{x)dx=^^ f y{x)dx

d9 Une intégrale peut présenter des éléments négatifs, chaque produit /(a;) Aor ou /(x)ûfj? étant, dans tous les cas, positif ou négatif, suivant que ses facteurs sont de même signe ou de signes contraires.

Au lieu d'avoir une courbe telle que AB, la courbe j^ =z/{x) peut (fig. ao) affecter la forme AKMLB. Elle coupe alors deux fois Taxe 0 j? en K et en L.

Les deux portions d'aire ACK et LDB, situées au-dessus de Taxe Oxy sont positives, tandis que la portion d*aire KML, située au-dessous de cet axe, est négative.

Db C. — Cours. III. 43

674 ALGEBRE SUPÉRIEURE.

En posant OC = j?o» OD = ^1, l'aire totale

ACK-KML-hLDB sera toujours représentée par

f{x)dx = F{jr,)-¥{jr,),

et elle pourra être nulle, si la partie négative KML est égale, en valeur absolue, à la somme ACK -h LDB des parties positives.

VÎQ, ao.

4** La dérivée f{x) deY{x) restant finie et continue quand X varie de Xç^ à Xj, de x^ à x%^ de Xf à jt,, . . ., de x^^i à x^, on a la formule

(6) f y{^)dJ^ — f A-^)^^-^] A^)dx -{-,., -h r f{x)dx.

En effet, la formule (6) revient à l'identité

F(^«) - F(^o) = [F(^i) - F(xo)] 4- [F(^,) - F {x,y\ H-. . .

La formule (6) subsiste, lors même que les limites ne sont pas rangées par ordre de grandeur, les éléments du second membre qui ne se retrouvent pas dans le premier se détruisant nécessairement deux à deux. On peut le vérifier facilement, en ne considérant, par exemple, que les limites x^^ Xx^ ^„ a:,, disposées dans Tordre ^o> ^%> ^s> ^i*

ALGEBRE SUPÉRtEURE. 67$

5<* Sîf{x) et(^{x) sont de ua; fonctions gui restent continues pour les valeurs de x comprises entre les limites ûCq et a?, > ^o ^^ si, dans cet intervalle, on a toujours f{x) > 9(^), on a aussi

f{x)dx'>l (^{x)dx.

Les deux intégrales définies sont des limites de sommes, et chaque élément difTérentiei de la première somme est, par hypothèse, supérieur à l'élément différentiel correspondant de la seconde. L'inégalité indiquée est donc vérifiée.

Cette remarque permet de renfermer une intégrale définie entre deux limites.

En effet, si la l'onction /(^) demeure comprise entre les fonctions "^{x) et ^(j?), dans l'intervalle (^o> ^ï)y et que ces fonctions soient continues dans cet intervalle, on a, d'après ce qu'on vient de dire,

f ^{x)dx> l f(x)dx> I <p{x)dx.

Si l'on ne sait pas intégrer /(j?)û?a? et si l'on sait, au contraire, intégrer ^(x) dx et (^{x)dx, on obtiendra donc deux limites de l'intégrale inconnue.

764. Nous terminerons ces préliminaires, en montrant que le théorème fondamental sur les intégrales définies (761) peut être établi directement par l'Analyse, à l'aide des principes du Calcul différentiel.

Admettons que ¥(x) soit l'une quelconque des intégrales de /{x) dx (IGO) : on aura/(j?) = F'(J7).

Par suite, a étant une fonction de x et de Aj? qui s'annule en môme temps que Aa?, on pourra écrire (545)

c'est-à-dire

(2) Ar(a?) = [/(a;)-ha]Ajc.

Si l'on fait maintenant varier x par degi-és de plus en plus rapprochés, depuis x-=Xo jusqu'à x=zxiy la continuité de /{x) étant supposée, on obtiendra, pour chaque valeur at-

QnQ ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

tribuée à or, une équation analogue à Téqualion (2). En ajoutant toutes ces relations membre à membre, le premier membre de l'égalité résultante, somme des accroissements AF(a7), représentera Taccroissement total de F(a;) entre les limites indiquées ou F(^i) — F(^o), et Ton aura

JT— X. X = Xi

(3) F(^i) - F(xo) = Vim^fix) Aa: -+- lim ^ a Aar.

jr = JTo X = jr.

Mais ^^x 2l ici pour limite finie x, — j?©- Par conséquent,

les valeurs de a étant à la limite infiniment petites, on a, d'après un théorème précédemment démontré (528),

lim V aA.r=io,

X=Xo

et il reste

(4) F(xi) — F(a;o) = lim2/(x)Aa:=J f{x)dx.

Ainsi, l'intégrale définie est bien la somme des valeurs infiniment petites de la différentielle (547), entre les limites indiquées.

Procédés d'intégration les plus simples.

765. L'opération par laquelle on passe de la différentielle d'une fonction à cette fonction elle-même porte le nom d'/n-

tégration.

Puisque les deux opérations, Différentîatîon et Intégration, sont inverses l'une de l'autre, chaque proposition relative à la différentiatîon a sa réciproque dans l'intégration.

On trouvera, à la fin de ce Volume, deux Tableaux parallèles, qui se répondent et se complètent mutuellement. Le premier renferme les différentielles et les dérivées les plus simples et les plus usuelles; le second fait connaître les intégrales qui résultent spontanément, pour ainsi dire, de la lecture des différentielles inscrites dans le premier.

Nous allons entrer dans quelques développements sur ce point, et indiquer ensuite les autres procédés les plus élé-

mentaires. Nos lecteurs n'auront pas besoin, eu général, d*aller plus loin, lorsqu'ils étudieront la Géométrie analytique (t. V).