INTÉGRATION PAR PARTIES
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781. Ce procédé d'inlégralion est très imporlant. 11 est très fréquemment mis en œuvre et offre de précieuses ressources.
;/ et V étant deux fonctions de j?, nous avons trouvé pour la différentielle de leur produit (570)
( I ) dav 1= udr -^ V du.
On a donc, en intégrant les deux membres (771),
Mc ■:=. I udi' -h j V du el, par suite, (2) ludri:=:uv — jt^du.
Nous n'avons pas ajouté de constante, parce que chaque membre de Téqualion (i), intégré, comporte une constante arbitraire.
Puisque uv est une partie intégrée, on ramène de celte
manière la recherche de l'intégrale / // dv à celle de Tinté-
grale I i^du, qui peut être plus simple, ou mieux se prêter
aux exigences de la question à traiter.
On voit que, dans les deux intégrales substituées ainsi Tune à Tautre, les fonctions et les différentielles sont permutées : on a, dans la seconde, ^ à la place de u et du h la place de dv.
Ce procédé pourrait s'appeler aussi intégration par facteurs, puisqu'il est fondé sur la décomposition du produit qu'on veut intégrer en deux facteurs, dont l'un soit une différentielle connue : dans le produit udi>, di> est la différentielle connue de la fonction r.
782. Si Ton veut appliquer la formule (i) [781] à la recherche d'intégrales définies, on a, en appelant Uq et l'o» U\ et i'i, les valeurs des fonctions m et i' pour x^=Xq et j? n=^i,
I ac^r = [i/ic, — iiot^ç] — / çdu.
De C. — Cours, lil.
GqO ALGEBRE SUPÉRIEURE*
783. Nous allons appliquer rintégration par parties à quelques exemples choisis, i^ Soit Texpression
j Ix dr.
Si Ton se reporte à la formule (2) [781], on a ici
Par suite,
I Ix dx zzixlx — I X — •= xlx — X-i-C.
2° Soit l'expression
/ arclang;rt/a7.
On a ici
u = arc tangx, v=^ x, du=z
I 4-x* Par suite,
r \ r dx
j arc tang j? dxz=^x arc tang j? — / ^ i
= X arc lang J7 /(i-h x^) -+- C.
3* Soit l'expression
I xé^ dx.
Ici, e^ dx est la différentielle connue de e^. On a donc
u=ix, c^ = e*, du=: dx, et, par conséquent,
/ xe^dx =zxe'-' j e^ dx =z xé^— e*-+- C.
4^ Soit l'expression
1 arcsina;</â?.
ALGÈBRE SUPÉaiEURE. 69 I
On a ici
, dx M = arcsinj?, p = a?, /zi/r= ;
\Ji — x^ par suite,
/• . , . r dx
J J sji^x^
Od peut d'ailleurs écrire
/dx r — 'XX dx i T
et Ton a, finalement,
/ arcsino? dx z=a:arcsina?-+- v^i — a?* -h C.
784. On peut avoir à appliquer le même procédé plusieurs fois et successivement, jusqu'à ce que Ton parvienne à une dernière intégrale, immédiatement connue.
5« Soit l'expression
1 x^e^ dx.
On a ici
u^--x^y v^=^e^y du^=iZx'^dx.
Par suite,
j x^e*dx-=:x^e^ — j e^3x^ dx.
On devra calculer la seconde intégrale par le même procédé et en posant
a=i3^*, v=ze^, du=:6xdx.
On aura ainsi
I 3x^e^dx=^3x*e^ — j e'Sx dx.
En opérant encore de même et en posant une troisième lois
U := 6x, 1^ = 6*, du=z6 dx,
il viendra enfin
f6xe^dx^.6xe^— fe'6dx=^6xe'—6e^.
692 ilLGEBIIE SUPÉRIEURE.
On trouvera donc, finalement» en substituant dans la première formule les résultats successivement obtenus,
x^é^dx = e*(j7»— 3 ar*-+- 6x — 6).
6* Soit, encore, l'expression
x^ do^x dx.
cosxdx étant la diiîérentielle de sino*, on peut poser
u = x"*y r=:sinjr, du =imx"''^ dx. Par suite,
On peut mettre la seconde intégrale sous la forme — I x"*-^ sinxdxzzz j x'"-^{--sinxdx) et poser, puisque — sinxdx esl la différentielle de cos.r,
i' =. cos.r, du m (m — i)x'"~* dx.
On a ainsi
— / x*"-^ sinx dx =z x^"^ cos^ — {m — 1) / x"*'^cosxdx. La question «st donc ramenée à la recherche de l'intégrale
x'^-'COSxdx^
qui est de même forme que la proposée, sauf l'exposant de ^. On devra, par conséquent, poursuivre l'application du procédé jusqu'à ce que, m étant supposé entier et positif, et diminuant d'une unité à chaque opération, on parvienne à rintégi*ale connue
I cosx
dx ou
^mxdXf
suivant que m sera pair ou impair. L'opération sera alors ter* minée. •
•ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 6q3
Prenons, pour fixer les idées, m = 4» Nous aurons succes-
sivement
/ x^ cos^ tf j: =1 jc* sin a? — 4 / -3?' sin x dx,
— l x^ sin X dx = x* cosx — Six* cosxdx^ I x^ coso? dx = X' sin x — a j xsinx dx,
— I X sxnxdx-^x cosa? — 1 cosxdx=ixcosx — siao?,
c'esl-à-dire, finalement, / x^ cosx dx =: s\nx[x^— 13 ar'-h 24] -h^xcosxlx* — 6] -+- C.
Cas particuliers des intégrales définies ( * ).
