I -1 z = - ( arc tang — — arc lang

Si Ton fait tendre Xi vers l'infini, arc lang— tend vers l'arc dont la tangente est égale à TinOni, c'esl-à-dire, si Ton veut, vers Tare - > et Ton a

/" dx I /tt . Xq

—^ i =- arc lang —

Si Ton fait tendre, au contraire, o^o^ers moins rinfini, on ai dans les mêmes conditions

/'' dx i / . xx 7:\ . = - arc tang— -+- - •

Enfin, si Ton fait tendre à la fois x^, vers — 00 et cT, vers oc,

il vient

r* dx I /îT 7r\ 71

J^ci^'\'^ a\2 2 / a 789. 3« Soit, en dernier lieu,

On aura d'abord

/ cosxdx.

puiSj

/ cosxdx--=s\nx -hC; cosxdx =. sinj7i— sinoTo.

Si Ton fait tendre maintenant x^ vers Tinfini, la valeur de sino?! ne peut tendre vers aucune limite déterminée. La valeur de l'intégrale

/ cosxdx est donc elle-même complètement indéterminée.

790. II. Là fonction débiyêe placée sous le signe / peut détenir

LNPINIB POCB l'une DBS LIMITES DE l'iNTÉGRALE OU ENTEE SES URITBS.

Supposons d'abord que la fonction dérivée /(a?) demeure finie pour les valeurs de x comprises entre les limites jr« el oTi, mais qu'elle devienne infinie pour x-=ix^, La valeur correspondante de l'intégrale peut être alors finie, infinie ou indéterminée.

£n supposant toujours ^i> x^ et en désignant par £ un infiniment petit positif, on pourra poser

/{x)dx=::\im I f(x)dx [pour£=:o].

Si lafonclîon/(a7) devient, au contraire, infinie pourx =r Xo, on pourra écrire d'une manière analogue

f{x)dx zzi Vwxi l f{x)dx [poure=^o].

791. Supposons, en second lieu, que la fonction /(jt) devienne infinie pour une certaine valeur de x comprise entre les deux limites o^o et x^ de l'intégrale. Cette dernière peut alors être finie, infinie ou indéterminée.

En désignant par X la valeur de x qui rend, dans l'intervalle (^0» ^1)9 /{^) infinie, nous pourrons écrire, d'une manière générale et d'après un théorème démontré précédemment (763, 4^),

C 'f{x)dx^ f /{x)dx^ f 'f{x)dx.

Comme on a, par hypothèse, /(X) = x, il faudra chercher les limites des intégrales du second membre d'après les indications données au n° 790. En désignant par £ et par tj deux infiniment petits \ïos\l\hy sans cor relation aucune^ nous poserons donc

J' /{x)dx=z\\m I f{x)dx [pour£ = o] /{x)dx=i\im I /{x)dx [pourTî = o].

La somme des deux limites obtenues fera connaître la valeur de l'intégrale proposée.