l-TÎ

S et Y) étant des inflnlment petits arbitraires, sans aucune corrélation.

On aura alors

,. . *^'^dx ,0 — è . £ lim / . - =/ =/ —

lim r

et

La somme des deux limites sera donc

ri Xq Xq n

Mais, £ et Y) étant arbitraires, leur rapport est indéterminé, et l'intégrale proposée a elle-même une valeur Indéterminée.

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 699

Si l'on suppose e = tq, on a / - = / 1 rz: o, el la valeur de l'in-

légrale se réduit à /— '• C'est ce que Caughy appelle, dans les

cas analogues» la valeur principale de Tintégrale indéterminée.

Cette valeur principale a donc pour expression générale (791)

lim j / f{x)dx-\' I /{x)dx\.

Nonyelle démonstration de la série de Taylor.

19k. Les propriétés des intégrales définies et Tapplication du procédé d'intégration par parties (781) conduisent à une démonstration simple et élégante de la série de Taylor (675).

Soient, en effet, x et h deux quantités données et t une variable. Considérons la fonction

et supposons-la continue, ainsi que ses n -+■ i premières dérivées, pour les valeurs de t comprises entre o et h; ce qui revient à dire que/(^) et ses n -f-i premières dérivées sont continues dans Tintervalle ( j?, x -+- A). La différentielle defix-^h^e) par rapport à tétant égale

—/'{x~^h— t)dty

nous aurons, identiquement (763, 2<')

(0 f -fi^ -t- A - l)dt = f f{x + A - e)dt =/{x -f- h) ^/(x).

Cela posé, si Ton veut appliquer Tintégration par parties (781) à Texpression

jc 4- A — t)dt, on aura ici

// ^.f'{x H- /* — t), (^ = t, du=z—f"{x -h A — t)dt,

et il viendra, par suite,

En opérant de même pour l'intégrale du second membre et en poursuivant l'application de la méthode, on aura, successivement,

Ç tf{x-r-h--t)dt= —f(x-^-/i-t)-^ f —f''(^jc-^/i—t)(it.

Ajoutons toutes ces égalités membre à membre. Nous aurons, en simpliflant,

H % /«(jT-r/l — 0-H / ^T f"+H.V'^/t^t)di.

En faisant ^ = A dans cette égalité résultante et en tenant compte de Tidentilé (1), il viendra évidemment