i. ../<*' ^ ^ i.2.J...//Jq
Pour que ce développement coïncide exactement avec la série de Taylor (675), il faut et il suffit que les conditions relatives à la continuité soient remplies, et que le reste R ou le dernier terme du second membre de la formule (2) tende vers zéro autant qu'on voudra à mesure que n augmente.
Si Ton désigne par M la plus grande valeur et par m la plus petite valeur que prend la dérivée continue /*•*"* (x 4- >i — /).
quand / varie de o à A, on a nécessairement
Mt^'dtK 5 — —-
R< ^ / Mt^dt< fiL ^
1,2,6, . .nj 1.2.0. ..(/î4-i
et
R> 5 / rnt^dt> ^
1,1,6, , ,nj^ \.i,6, , ,{n -\-i
La véritable valeur de R correspondra donc à une valeur de /*"^*(j?-f-A — ^) telle, que t soit compris entre o et A et égal à A — Oh^ en désignant par Q une certaine fraction positive, et Ton trouvera ainsi, comme précédemment (677),
ce qui achève la démonstration.
Intégration par séries.
795. Le développement d'une intégrale en série convergente repose sur le théorème fondamental suivant :
Si une série
dont les ternies sont des fonctions continues de la variable j?, est convergente pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle (j7o> ^i)> ^^ sif{x) représente sa limite, la série
\ u^dx 4- / u^dœ -Ç- j u^dx 4- . . .
Un^idx 4- / IRndx
est aussi convergente dans le même intervalle, et elle a pour limite l 'intég raie dé fin ie j /{x)dx.
En efifet, .puisque, sous les conditions indiquées, on a, pour toutes le& valeurs de a? comprises dans Tintervalle {x^y ^r,),
^02 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
et R„ tendant vers zéro à mesure que n augmente,
on a aussi (771), en multipliant par dx et en intégrant entre les limites Xo et Xx,
I 1 /{x)dx= I Ufidx -h I Uidx-^l tf,</x-i-...
f Un-idx-h I ^^dx.
D*ailleurs, si Ton représente par s un infiniment petit, on pourra toujours poser, par hypothèse et pour n assez grand,
et, par suite,
/ R»e/a:< / edxKZsi-Ti — Xq),
Le dernier terme du second membre de la relation (2) devient donc nul à son tour pour n infini, et l'on a rigoureusement
(3) / f{x)dx=z I u^dx -h I Uidx-hl a^dx -{-.,..
796. Si la série (1) [795], convergente pour toutes les valeurs de X comprises entre ^0 et Xi, devenait divergente pour x = j?i, la formule (3) serait encore vraie pour ^r :=: .rj — e, en supposant Xi'>Xo et en désignant par c un inflniment petit positif. En faisant tendre s vers zéro, la formule (3) subsisterait toujours, pour\'u que la série (2) demeurât convergente. En effet, ses deux membres représentant alors des fonctions continues de x qui ont constamment la même valeur, leurs limites, pour e r= o ou pour x = x,, seraient encore égales.
797. Il résulte du théorème précédent (795) que, si la formule de Maclaurin (684-) donne pour/(,r) une série convergente telle que
ALGEBRE SUPÉRIEUHE. <Jo3
on pourra, en multipliant de part et d'autre par «fj? et en intégrant, en déduire l'intégrale indéflnie
Si l'on veut que l'intégrale soit nulle pour ,r = o, il en résultera C = o, et l'on aura (762)
• 798. Nous terminerons ces notions par quelques exemples, i^ La division donne (ii)
et la série du second membre est convergente tant que x est moindre que i.en valeur absolue. £n multipliant par dx et en intégrant, il vient
dx ,, . x^ x^ x^
=zl{l-\-x)=:X h -o 7-4-...
«+» Ar«+* dx
Tant que la valeur de x reste comprise entre — i et h- i, on a donc (696)
2^ La division donne également
et la série du second membre est convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre —1 et -h i. En multipliant par dx, en intégrant, et en prenant pour arc tango: le plus
^u4 ALGÈB&E SUPÉRIEURE.
petit des arcs positifs qui ont œ pour tangente, on a donc
dx . Jc^ X* x^
, = arc langer = j:— -0--+--^ H...
i-Hx* 557
Tant que la valeur de x reste comprise enlre —1 et -h i, on peut écrire, par suite (70^),
arctang^ — a: 5- -^ — h —
3° La formule du binôme (691) donne, en supposant or compris entre —i et -m, la série convergente
En multipliant par dx et en intégrant les deux membres de cette relation, il vient
arc sm.r
Ce développement est applicable tant que x reste compris entre — i et -h 1 el, même, pour x=.-±.\^ en raison de la remarque faite au n° 796, parce que, bien que la première série devienne alors divergente (692), la seconde série demeure convergente (*). On aura ainsi, en faisant xz= i dans le développement trouvé et en prenant pour arcsinj? le plus petit arc positif qui réponde à cette condition,
