Vérifier que l'exprefl^lon
est, en valeur absolue, plus grande que ax». En déduire la condition du maximum de x 4- j, Jorsque la somme x'w -+- j"» est donnée.
85. Si A est la somme des termes de rang impair et B la somme des termes de rang pair, dans lé développement de (x -+- «)"», on a la relation
A« — B«=(x« — aî)'«.
86. Écrire immédiatement le coefficient de la première puissance de x dans le développement de
(^+!ÏV-
87. Développer la somme ou la différence des puissances semblables des deux binômes a-^ b et a — b*
88. Vérifier la formule suivante, due à Abel, et qui, pour ^ = o, reproduit celle du binôme :
(x-+-«)'» = x'»H-ma(x4-^)'»-«H -a^a — a6)(x -h2^)'»-«-4-. . .
— ^^ p-~ ^ a(a — nb)^-^ (x -4- nb)m-n
ma[a —(m — i)fc]'»-*[x-t-(m — i)^] 4-«(a — mb)'^"^.
QUESTI02VS phoposées
89. Si l'on joue le domiDo à deux avec 28 dés, combieu peut-il se
présenter de parties réellement différentes, chaque joueur prenant 7 dés
à chaque partie ?
Rép, 137680171200.
90. Même problème, en supposant qu'on joue à quatre et que chaque joueur prenne 6 dés à chaque partie.
Mi, Calculer ^fn ou la somme des cinquièmes puissances des m premiers nombres entiers.
Calculer de même Sf„.
9â. Démontrer la formule
93. Trouver, d*après cette formule, les valeurs de a^ b, c, qui rendent identique l'égalité
(a — m -.- i)(rt -r-m-r- 2)(« -+- /w 4-3). . .(« -H2/m) = ù{b-T' c){b -r-^c), , .[^-T-(m — i)<?],
m étant un entier quelconque.
94. Déterminer le plus grand terme du développement de (a-f-^)»*, m étant un entier donné et fini.
(Comparer le résultat obtenu avec celui trouvé au n** 293.)
95. On a k urnes renfermant : la première, n boules blanches et n' boules noires; la deuxième, /ii boules blanches et /<', boules noires; la troisième, ni boules blanches et n^ boules noires; et ainsi de suite. En prenant une urne au hasard parmi les urnes données, quelle est la probabilité d'en extraire du premier coup une boule blanche?
(Se reporler aux n"» 2i6, 25 J.)
96. Une première urne renferme a boules rouges et 1 boule noire; une deuxième urne renferme b boules rouges et 1 boule noire; une troisième urne, c boules rouges et i boule noire; et ainsi de suite.
On tire une boule dans la première urne; si Ton n'amène paâ une boule rouge, on tire une boule dans la deuxième urne; si l'on n'amène pas une boule rouge, on tire une boule dans la troisième urne; et ainsi de suite.
Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge, suivant qu'on accorde une seule épreuve, deux épreuves, trois épreuves, . . ., /i épreuves ?
97. SZ désignant la somme des/'^^^ puissances des n premiers nombres entiers, démontrer que cette expression est un polynôme du degré p •+- 1 par rapport à /i, toujours exactement divisible par /<, c'est-à-dire sans terme constant.
SUR l'algèbre supérieure. 721
Si Ton ordonne ce polynôme par rapport aux puissances décroissantes
de n, le coefficient du premier terme est toujours égal à et le
coefficient du deuxième terme, toujours égal à -•
98. Calculer la somme des carrés des n premiers nombres impairs.
/?(a/i — i)(2/<-t-r) nep. •
99. n étant un entier quelconque, calculer la somme des produits
i.2.3-{-2.3.4-+-3.4.5-H...-T-w(//-}-iX"-+-2i)-
Rep.
100. Trouver la somme des p premiers nombres figurés du /C^^ ordre. I Se reporter au n'273.)
JOl. Calculer le nombre de termes des développements
( ^ H- ^ -f- r )'», (a-+- /; -h c- -î- </)'«, ia-^b^c-\-d->neY'*.
{ Se reporter au n* 307. )
102. Trouver la condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme
a^jc^-^ ax^~j(- bjo^-r- ex -\- r*
soit un carré parfait. (Se reporter au n*" 321.)
