Démontrer que Ton a, quel que soit x, 1 I f

(a:-f-i)(j:-+-2)(ar-H3)(x-+-4)

(x -+- '2)(j; -h 3)(x -h 4)(J -+- 5) 1 17. Démontrer que Ton a, quel que soit x,

4 x(x-Hi)(x-i-a)(xH-3) x(x-hi)(xH-2)(x-+-3)(x-F4)

(xH-2)(x-h3)(x-4-4)(xH-5)(x-4-6) * 118. Démontrer la formule

- =acotax-+-tangx-h -tang- -h ytang- 4- ^Ung^ -i-

SUR l/ ALGEBRE SUPÉRIEURE. ^'^5

(On prendra pour point de départ Tidentité

tangor = cota: — a cot 2.r,

et l'on y remplacera successivement x par — > 7 > "p ? • • •• )

119. X étant, en valeur absolue, inférieur à l'unité, trouver la somme de la série

n-Sar-h 6j7«-+-iox8h-...-4- ' "^'^^^'"^ ^^ jt^^-i-

Rép,

lâO. X étant, en valeur absolue, inférieur à Tunité, trouver la somme de la série

Rép,

lâl. X étant, en valeur absolue, inférieur à Tunité et n étant un entier quelconque, trouver la somme de la série

iââ. X étant, en valeur absolue, inférieur à l'unité, trouver la somme de la série

i-h 4*P-f- 9^*-^ I6J:•-^. . .-f-(/i-i- ij*vi*'*-i-. . . .

Rép. ^-^^

(I — j:)> (Pour les quatre derniers exemples, on peut se reporter au n"* 360.)

123. Prouver, d'après le théorème de Duhamel, démontré dans la Note qui termine ce Volume, que la série

7'>>t) QUESTIONS PROPOSÉES

est convergente, et que la série

est divergente.

I2i. Démontrer que toute série à termes positifs

IH -+- Wi -+- Wï -~ «3 -h . . . !- Un-x -î- «/i -f- . . . .

dans laquelle le produit nun ne tend pas vers zéro lorsque n croît indénniment, est nécessairement divergente.

( La réciproque do ce théorème n*est pas exacte, c'est-à-dire que si, dans la série précédente, le produit //«« tend vers zéro, lorsque n croît indéfiniment, cette série n'est pas nécessairement convergente.)

125. S'appuyer sur le théorème précédent, pour prouver la diverj^ence de la série

I II I II I 1 ^ ï