Soit le déterminant
«a ba Col
In
On veut l'écrire, en l'ordonnant effectivement suivant les éléttients d'une même ligne ou d'une même colonne. Choisissons, par exemple, la ligne », Nous aurons, d'une manière générale (48), pour la valeur du déterminant.
A =: Âa^a ~t" Ba^a"^ CaCa-f-. • . -f- La^a-
Dans celte expression, les coefficienls A», Ba, Ca, . . ., Lasont les déterminants mineurs de première classe qui correspondent successivement à la suppression de la première, de la deuxième, de la troisième, . . ., de Ja /i'*"° colonne, combinée avec la suppression de la ligne considérée de rang a (49).
Pour former ces déterminants mineurs, il est commode d'opérer comme il suit.
Faisons monter la ligne a au premier rang, en la permutant successivement avec les lignes précédentes; nous changerons chaque fois le signe de la valeur du déterminant (46). Pour conserver à cette valeur son véritable signe, il faudra donc aussi chaque fois multiplier le déterminant par —i. Le nombre des échanges effectués étant a — i, le facteur multiplicateur sera finalement (— i)^-^ ou, ce qui revient au même, (— i)""*-*, puisque (— 1)*= i. On peut donc écrire
... /(x • . . tj
Col
Ca-i
^a-Hi
Maintenant^ supposons nuls tous les éléments de la ligne a (amenée en tête), à l'exception du premier a^. D'après la formule (i), la valeur du déterminant se réduira d'une part à
D'autre part, on aura, pour cette valeur (51),
i)«^*aa
aa o
boL-l
Ca-^i
Ct
Cql—I CoL-hl
It
'oL-hl
In
En comparant les deux valeurs de A, on a donc
Aa = (-I)
Ct
Ca^i
boL-hl
la-i
On trouve Ba d'une manière identique, en remarquant seulement que, pour faire passer à la fois au premier rang la ligne a et l'élément ^a, il faut une permutation de plus entre la première et la deuxième colonne; il faut donc 2i\xs%\ faire croître d'une unité l'exposant du facteur multiplicateur. On a, par
ALGEBRE SUPÉRIEURE.
conséquent.
a-hi
Cî
«Ol-t
Cflt-i
«a-Hi
ûfi
•on-i
• In
On forme de même l'expression de €« en faisant croître encore d'une unité l'exposant du facteur multiplicateur, puisqu'on doit opérer une permutation de plus entre la première et la troisième colonne, et en faisant suivre ce facteur du déterminant mineur obtenu en supprimant, dans le déterminant primitif, la ligne a et la troisième colonne qui se croisent sur l'élément Ca.
La loi est évidente. On voit que les coefficients obtenus sont alternativement positifs et négatifs, ou inversement, suivant le point de départ, et que la formation effective d'un déterminant peut toujours être ramenée à celle de déterminants mineurs de plus en plus simples.
60. En appliquant l'algorithme qu'on vient de démontrer au déterminant du troisième ordre, ordonné suivant les éléments de la première ligne^ on a
A ^ A, «1 -h Bi 6i 4- C| c,,
c'est-à-dire en faisant a = i dans les résultats du numéro précédent)
On a effectivement
bi
z=z a^bi — b^a^.
Le déterminant du quatrième ordre, ordonné suivant les éléments de la première ligne, peut de même s'écrire immédiatement
ai
Cj
dt
Cî
Ci,
di
^3 Ca c^3 «4 C4 t/4
Il ne reste plus qu'à effectuer, comme nous venons de le faire, les déterminants mineurs qui sont du troisième ordre.
61. Voici encore deux autres exemples. Le premier déterminant est ordonné suivant les éléments de la première colonne; le second, suivant les éléments de la première ligne.
-rf.
X y' — vx' -i- x' y" — y'x" h- x'' y — y'^ x.
ir B j ! B" A'
:=A(A'A'^— B')-B'(B^A''-BB')4-B'(B''B— A'B) ^AA'A''-T-2BB'B''-AB2— A'B'»— A'B'^
Le déterminant qu'on vient d'effectuer, et qui joue un rôle important dans la théorie des surfaces du second degré, est un déterminant ji}^/7ie7/7(7we. On appelle ainsi tout déterminant dans lequel les éléments conjugués, c'est-à-dire placés symétriquement de part et d'autre de la diagonale du carré des éléments, sont égaux.
62. L'emploi du déterminant du troisième ordre, dont nous avons donné l'expression au n^ 60, étant très fréquent, nous indiquerons encore, pour le former, la règle suivante due à Sàrrus.
Écrivons le déterminant, en répétant à sa droite ses deux premières colonnes. Nous aurons le Tableau
ai bi Cx (i\ bx
a^ 62 C] a^ bi
«j bz C3 «3 6j
On voit alors que les termes positifs du déterminant
(«i^îCj, 6iC,a,, Cia^bi)
sont donnés par les diagonales complètes qui descendent de gauche à droite, et les termes négatifs
{bia^Ct, aiC^biyCxb^a^)
par les diagonales complètes qui descendent de droite à gauche.
Calcul de la valeur d'un déterminant.
63. Pour calculer la valeur d'un déterminant, on peut toujours employer la méthode générale indiquée au n° 58; mais on arrive souvent plus rapidement au résultat en cherchant à ramener directement, à l'aide des théorèmes précédemment démontrés, le calcul du déterminant proposé à celui d'un déterminant mineur d'ordre moindre d'une unité, et en opérant ainsi successivement jusqu'à ce qu'on parvienne à un déterminant mineur du second ordre. Ce déterminant du second ordre s'évalue alors immédiatement, d'après la définition du n"* 35 ou d'après la loi de formation générale (58).
Nous avons déjà donné plusieurs exemples de la marche à suivre à cet égard {^Alg. élém., 194, 195, 196). Nous en donnerons encore ici quelques-uns, en entrant dans plus de détails.
