I II
En ajoutant maintenant respectivement la deuxième ligne à la première et à la quatrième, et en ajoutant cette même deuxième ligne, multipliée par 4, à la troisième ligne, il viendra successivement (51 )
Retranchons de la deuxième colonne du dernier déterminant la troisième colonne, multipliée par 4 1 puis, retranchons également une fois la troisième ligne de la première ligne et deux fois cette troisième ligne de la deuxième; puis, enfin, ajoutons trois fois la première ligne à la troisième : nous aurons successivement, en appliquant toujours le théorème du n"* 51 aussitôt que cela est possible, les résultats ci-après :
65. On peut, sinon simplifier les calculs, du moins éviter tout essai et tout tâtonnement, en appliquant un théorème que nous allons démontrer et qui résulte immédiatement des propriétés générales des déterminants.
On peut toujours ramener un déterminant donné à présenter une ligne ou une colonne composée d'éléments tous égaux à l'unité.
Prenons, par exemple, le déterminant du troisième ordre
«i ^1 Cl a, b^ Ct aj b^ Cj
Cherchons le plus petit commun multiple des éléments de
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 49
la première colonne. Soit m ce plus petit commun multiple.
On aura
Multiplions respectivement les trois lignes du déterminant parles quotients ^i, Çu q^. £n désignant par A sa valeur, il viendra (5^)
Cxqx
m biÇi
m btÇt c,7,
ce qui justifie Ténoncé.
En retranchant successivement la première ligne des autres lignes, on arrive ensuite immédiatement (51) au déterminant mineur d'ordre moindre d'une unité, auquel on peut appliquer la même transformation s'il y a lieu.
On aurait, pour le déterminant précédent,
I biÇi CiÇi
9\qt^z
66. Appliquons ce procédé au déterminant déjà calculé au n"" 64.
I^ plus petit commun multiple des éléments de la première colonne étant I30, on multipliera respectivement les quatre lignes du déterminant par les nombres 40, ao, 12, i5. On a ainsi, pour sa valeur,
Di C. — Court, ni.
ao
ALGEBRE SUPÉRIEURE.
En retranchant la troisième ligne des autres lignes, le déterminant devient successivement
4o.ao.ia. i5
0 80 It2
1 480 6{8 o 75 il
4o.ao.i2.i5
Nous chercherons alors le plus petit commun multiple des éléments de la troisième colonne du dernier déterminant. Ce plus petit commun multiple étant 36, on multipliera respectivement les trois lignes du déterminant par les nombres 9,9 et j. On aura comme résultat, en retranchant finalement la première ligne des deux autres,
36o 288 36 720 108 36 3oo 168 36
36o 288 I I 720 108 I 3oo 168 I
