Nous allons vérifier ce théorème en supposant n = 3 et
nous allons montrer que le déterminant
«1 «1 -^ ^i Pi -f- Ct yi «1 «j -h ^1 (3, -h Cj y, ^,«1 -^ ^iPi-h c,yi «!«,+ 6,(3,-h c,y,
est bien le produit des deux déterminants
et
«1 «j ■+■ ài
P» 4- Ct y,
03«,-i- 6jP,H-Cjy,
Pi ïi
P» ys
En effet, d'après le théorème du n^ S8y on peut commencer par décomposer le déterminant R en trois déterminants, en prenant successivement, au lieu de la première colonne, chacune des trois colonnes partielles qui la constituent et en conservant les deux autres colonnes composées. On pourra opérer de même sur les trois déterminants obtenus, en décomposant également leur deuxième colonne en trois colonnes partielles, ce qui donnera en tout neuf déterminants. Enfin, en opérant encore de même sur la troisième colonne de ces neuf déterminants, on verra finalement que le déterminant R est la somme de vingt-sept déterminants à colonnes simples.
On voit par là d'une manière générale que si, dans un déterminant, chaque élément est la somme d'un certain nombre de termes tels que chaque colonne puisse se résoudre en colonnes partielles, la première en m colonnes, la deuxième en n colonnes, la troisième en p colonnes, etc., le déterminant proposé est égal à la somme de tous ceux qu'on obtient en prenant successivement, dans le déterminant proposé et dans les déterminants qui en dérivent, au lieu de chaque colonne composée, l'une des colonnes partielles qui la constituent, c'est-à-dire, dans le cas indiqué, à la somme de mnp,., déterminants simples.
Revenons à notre vérification.
Le déterminant R étant la somme de vingt-sept déterminants, si l'on prend ensemble les premières, ou les deuxièmes, ou les troisièmes colonnes partielles des colonnes composées, on en a évidemment trois de la forme
as ai 0% «1 a^ 0C3
= ai «j a^
0C| 0Cs 0C3
En prenant successivement deux colonnes partielles de même rang dans deux des colonnes composées et en les associant avec une colonne partielle de rang différent prise dans la colonne composée restante, on a dix-huit déterminants de la forme
«îai
— ai«ïP3
^Pa
Il ne reste plus que six déterminants qu'on obtiendra en prenant une colonne partielle de rang différent dans chaque colonne composée de R, et qui seront successivement
a, ai
c^yz
— «iPjya
ciyz
Cj
a, ai
ci/i
Ct
a, ai
cjyi
- «1 yi (33
bt
«laî
Cl /s
bx
^^.Pi
a,ai
Cl 73
bt
Ct
Cj
^lys
bx
cj/î
«laa
— Pi/jas
bt
^syj
«sas
^lyi
a,aj
bx
ciyi
^Ps
— 7iaîP3
bt
csyi
Ci/i
«laj
^tP,
— yi|3i«3
bt
tt
^sVi
bt
c'est-à-dire qu'on a finalement
«1 ^1 Cl I a^ bf Cf
X(a,(3,y3 — aiy,(3g-i-y,a,(3, — l3ia,yj-i-(3,)/,a,— yi|3»a,)
ou (60)
yi
br
Ct
yi
Cz
