PQ

72. Il esl utile de remarquer, en reprenant le théorème du n"" 70, qu'on ne change pas les valeurs des déterminants? et Q en échangeant dans ces déterminants les lignes et les colonnes. Il y a donc quatre manières différentes de former leur produit R.

Soit, par exemple, les deux, déterminants du second ordre

Pli p. i

On aura. Tordre adopté dans la multiplication des lignes ne faisant qu'échanger les lignes et les colonnes du résultat (&5),

ft,

«1 bi «î bi a, a,

Pi P.

a, aj

ai a

aïoe 6, a

*i?i b^Qti

bt(Xi a^Pi

Les quatre déterminants, obtenus dans les seconds membres des équations précédentes, représentent tous

R = (ai6,-6ia,)(ai(3,-?i«0 [70,39].

73, Si le second déterminant Q est égal au premier P, on a

Le carré d^un déterminant est donc un déterminant de même degré, et il en est de même de toutes les puissances entières d'un déterminant.

Comme on peut échanger dans P, sans modifier sa valeur, les lignes «t les colonnes, il y a trois manières différentes de former son carré P'.

60 ÀLGÈBUE SUPÉRIEURE.

Soity par un exemple, le déterminant du second ordre

«1 6, a, bf

On aura, en ne confondant pas les exposants avec des indices,

ftî

ûts^i H- b^bi

a} 4- 6ia,

atbi-hbl

af-4-aî

a^bx -h aj6,

ftî

D'après la première et la troisième forme, le carré de P est un déterminant ^ym^/ri^i/e (61) : cette propriété est générale.

74, Nous avons supposé jusqu'ici les déterminants P et Q de même degré.

Si ces deux déterminants sont de degrés différents et si Q est d'ordre moindre, on n^aura qu*à transformer Q en un déterminant de même degré que P (51) et à appliquer la règle précédente (70).

Si Ton donne, par exemple, les deux déterminants

a^ 6| Cl

on remplacera le second déterminant par le déterminant identique (51)

«1 ?i o «î Pi o

OÙ les quantités a, et (3, resteront arbitraires. Le produit des deux déterminants prendra la forme

aiai+^iPi aia,4-6i(3i ai «, -h 6j (3, -h Ci a,oet + 6|(3i «lai-H^iPi «j «i H- ^i P» 4- c,

«1 Pi

75. Dans tout ce qui précède, nous n'avons considéré que des déterminants carrés, présentant le même nombre de lignes et de colonnes.

On peut être amené à considérer, nous ne dirons pas des déterminants, mais des tableaux rectangulaires^ où il n'y a plus égalité entre le nombre des lignes et celui des colonnes.

La notation des éléments reste la même, et Ton peut, pour distinguer ces tableaux rectangulaires des déterminants carrés ou des déterminants proprement dits, doubler les traits verticaux qui les limitent.

76. Nous allons étendre succinctement le théorème de la multiplication de deux déterminants (70), en considérant deux pareils tableaux rectangulaires formés de m lignes et de n colonnes ou de mn éléments, et nous poserons

aln

al.

b\ b\ b\ ... bl

b)n bl b*„ ... 6»

Formons alors, comme au n<*70, le déterminant des m' quantités analogues à

c* = a} bi -h aj bl -h a] b\

albl.

et posons

i» Simz=Lny on retombe sur le théorème du n« 70, et Ton a

R = PiQf

a® Si m est > /i, le terme principal de R est

c\clcl,,,cZ = ^{a\a\a\...al,b\b\h\...bl,\

et, en reprenant l'analyse du n^ 70, on voit que les indices supérieurs a, ^, /,..., fji, en nombre m, devant encore varier

depuis I jusqu'à n, deux au moins recevront toujours des valeurs égales. On a donc nécessairement

3» Enfîn, si m est < /i, les indices supérieurs a, p, y, . . . , jul, en nombre m, pourront toujours recevoir des valeurs inégales choisies dans la suite i, 2, 3, . . ., /i, et cela autant de fois qu'on peut établir de combinaisons avec n objets pris m à m ou un nombre de fois représenté par {Alg, élém., kÙ9)

Pour chaque système de valeurs attribuées ainsi aux indices oE> P> /> • • • > i^> on aura à considérer m colonnes du tableau Qi et m colonnes correspondantes du tableau Pi, formant respectivement deux déterminants Q et P. On aura donc évidemment