R = 2(PQ
le signe 2 embrassant tous les produits PQ qui répondent aux systèmes de valeurs qu'on peut donner aux indices a, p,
77. Quelques exemples ne seront pas inutiles pour bien éclaircir ce qu'on vient dé dire :
I** Soient d'abord les deux tableaux rectangulaires
ai «s
et
«1 Pi
On a ici m = 3 et « = 2. Le déterminant R, qui a pour expression (76)
ai «i H- bi pi ai aj -+- bi p, ai olz -4- bt pj ajai-+-t,p, a^ai-hb^f^i ^«a + ^sPs «jai-f-^jp! «,a,«+-^,p, ârsQCsH-^sps |
doit donc être nul (76).
On peut, en effet, le décomposer (71) en /tuit déterminants simples, se partageant en trois groupes.
Deux sont de la forme
ai ai ai aj ai aj UfCLi afCLf afXs
a^tti ^8^ ^8^S
= ajoCf QCs
ai ai ai a^ a\ Oi Ut at ai
Trois sont de la forme
a^ OC] Of «s bi Ps
«3«l Ûa«J ^8?!
= «1 «j Pa
ai ai ^1 a% a^ b% az ai hi
Les trois derniers sont de la forme
a,ai bx^t bx^z I
a, ai bz^t ^«Ps =aiPîPî fljai Z»3p, ^,Pt
a| 6i 6i as b% bi ai bi bi
a* Soient encore les deux tableaux rectangulaires
ai bi Ci a^ bi Cl
et
;! «i pi Yi
Il «î Ps T«
On a ici m = 2 et /i = 3. Le déterminant R, qui a pour expression (76)
j a, ai -h bi pi -i- Cl Yi «i a, -+- bi p, -l- Cj y, I aiaiH-6,Pi-Hc,Yi û, a, -h Z», p, -+- Ci Yî
doit donc être égal à la somme d'autant de produits de déterminants du second ordre qu'on peut faire de combinaisons avec trois colonnes prises deux à doux (76), c'est-à-dire à la somme des trois produits
»l Pi
«1 Yi
ai Cl \ ,
bi Cl ' ' Pi Yi '.
bi c, ! . p, Ys î'
c*est ce qu'il est facile de vérifier (39) en mettant le déterminant K sous la forme
(«,6î— ^>irt,)(aiP,— Pi»,)
-t-(aic,— Cia,)(aiYî — Yi«ï)^-(^i<^t — Ci^î)(PiY« — ïiP«)-
3^ Soient enfin, pour terminer, les deux tableaux rectangulaires identiques
ai bi Cl
«1 Pi Yi
et
«1 ^l Cl
«i Pi Yi
On a encore, dans ce cas, m = 2 et /i = 3. Le déterminant R, qui a pour expression (76)
b\ + c\ ^iPl-HCiYi
aiai-i-6iPi-4-CiYi
-+-Pî-+-ïf
64 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
sera donc la somme des trois produits ou carrés
«1 ai
ai bi
«J-+-6Î «lai-H^iPi
«1 Pi
«1 Pi
«lai-H^iPi aî-+-pî
ai Cl
ai Cl
ÛÎ-+-CÎ aiflti-+-c,Yi
«i Ti
«1 ïi
aia,-+-CiYi «î-^-YÎ
bi Cl
bi Cl
*î-4-c} ^iPi-+-CiYi
?i ïi
Pi Ti
^iPi-HCiYi Pî-HYÎ
On doit donc avoir (39)
(û? -+- ^»î-+- cî)(aî H- p2-+- YÎ) -(«i«i -+- ^1 Pi-+- ^lï
-(«î-^^î)(«î--pî)-(«i«i-+-^iPi)*
