RÉSOLUTION GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ

79. L'emploi des déterminants simplifie beaucoup la résolution générale des équations du premier degré.

Nous démontrerons d'abord les formules ou les règles connues sous le nom de règles de Craxbr ; puis nous établirons le théorème général de M. Eug. Rouché, qui nous semble devoir clore définitivement la question.

Règles de Cramer.

80. Considérons un système de n équations du premier degré à n inconnues, que nous représenterons comme il suit :

a^x -h 6,7 + CjS -h. . .-h /j/ =3/?,, •••• • »

Désignons par A le déterminant formé par les n} coefficients des n inconnues. On aura

On peut ordonner A suivant les éléments de ses différentes colonnes et l'écrire alors sous les n formes indiquées au n^* 50, à Taide de ses déterminants mineurs de première classe (44).

Prenons en particulier la première de ces n formes de A, Db c. — Cours, m. 5

c'est-à-dire

A = Aiai-i-Aiai + Aaa3-i-. . .-t-A^^a;,.

Si l'on remplace successivement, dans le déterminant figuré des coefficients des inconnues, la lettre a par les {n — i) autres lettres b, Cj , , ., l, sans toucher aux indices, on obtiendra chaque fois un déterminant qui sera nul comme ayant deux colonnes identiques (W). On pourra donc écrire en même temps les {n — i) équations suivantes, dont les premiers membres résultent des mêmes substitutions successives dans l'expression ci-dessus de A :

Ai6,-hA,6,-4-A8 6,-f-. . ,-\-Anbn

Aj Cj -4~ A j Cj ~\- A3 C3 -f- . . . -\- A/i C;j

Aj II -h Aj /j 4- A3 /s