HA
Cela posé, multiplions respectivement les n équations (i) par les mineurs Aj, A„ A3, ..., A„ et ajoutons ensuite ces équations membre à membre. Les coefficients des (/i — i) inconnues y, z, . . ., t deviennent précisément, dans cette hypothèse, les premiers membres des (/i — 1) équations (2), de sorte que ces inconnues se trouvent éliminées et que réquation provenant de la somme effectuée se réduit à
d'où
( Aj «1 -h Aj «j -f- As «3 -h . . . 4- A;, a„ ) X =iA,/?,4-Aî/),4-A3/?, + ... + A„/?„;
^ Ai/?i -+- kiPt 4- Aa/?, H- ... -4- AnPa Al «1 -h Aj a, 4- As «8 -h. . .4-A„a„
Si l'on veut mettre les deux termes de cette valeur de œ sous forme de déterminants, on a évidemment (49)
Pn ^n Cn
«1 bi Cj a, 6, c,
On trouve de la même manière les valeurs des (/i — i) autres inconnues /, -c, . . . , ^, en se servant successivement des (/i — i) autres formes de A ordonné suivant les éléments
de ses {n — i) autres colonnes (50), et Ton a
B^pi^BtPt-\' Bj^p^-h.,.-hB„p^
ou
Cl .,
• It
«Tj
Pt
bt
. It
Pu
bn
Cn .
■ In
bt
. . Pi
bt
bn
• • Pn
On voit que le dénominateur commun des formules générales ainsi obtenues est le déterminant A des coefficients des inconnues et que, pour avoir le numérateur de chaque formule, il faut remplacer dans le dénominateur commun, sans toucher aux indices, le coefficient de l^ inconnue dont on veut écrire la valeur par le terme tout connu p pris dans le second membre.
L'énoncé précédent constitue les règles de Cràvbr, qui les a données dans son Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (1750) [voir p. 607 et 658].
81. Pour que la démonstration précédente subsiste, il faut que les déterminants mineurs de première classe, par lesquels on doit multiplier respectivement les équations proposées, ne soient pas tous nuls.
Si cette condition est remplie, chaque équation, telle que
ti.X= AiPi -h Aj/?j + Aj/?3 + . . . -h KPnj
est une conséquence nécessaire des équations (1) [80] et peut remplacer Tiine quelconque d'entre elles. Il y a donc alors équivalence entre le système proposé et celui auquel on parvient par les formules de Cramer.
82. Il est d'ailleurs facile de vérifier que, tant que le déterminant A est dijférent de zéro, les valeurs données par ces Jor mules satisfont aux équations proposées, qui admettent par conséquent dans ce cas une solution unique et déterminée.
Si Ton substitue, en effet, ces valeurs à la place des inconnues, la première des équations (i) [80] devient, en chassant le dénominateur commun A,
^i(Ai/?i-t-A2/?,-f-. . . + A„/?,,)
H- ^1 (Bi/?, H- B,/?,H- . . . H- B„/>„ ) -4- . . .
-h /i(Li/?i-hL,/?2-h. ..-t-L;,/?„)r= A./?i
ou bien, en ordonnant dans le premier membre par rapport aux termes tout connus />i, ^j, . . . , /?„,
/?,(Aiai+ Bi^i-h. . . + Lj/i)
