i(A,ai-h B,^i-f-. . .-f-L,/i

•^Pn ( A„ a, -+- B„ ^1 -f- . . . + L„ /j ) =: A .jUi.

Or le coefficient de px est le déterminant A ordonné suivant les éléments de la première ligne (50), tandis que les coefficients de 7?j, p^, ..., /?„, sont ce même déterminant ordonné suivant les éléments de la deuxième, de la troisième, . . ., de la n**™'' ligne, et où Ton aurait successivement remplacé ces mômes lignes par la première : on a ainsi, chaque fois, un déterminant à deux lignes identiques ou nul (47), de sorte que le premier membre de Téquation considérée se réduit à A./>i comme le second membre, et que cette équation est satisfaite par les valeurs mises à la place des inconnues.

On appliquera un raisonnement analogue aux (/i — i) autres équations du système (i) [80].

83. En admettant toujours que les déterminants mineurs ne soient pas tous nuls (81), on peut montrer que, lorsque le déterminant A est, au contraire, égal à zéro, le système des équations proposées est impossible ou indéterminé.

Car, si Ton substitue, comme on en a le droit, à la première des équations (i) [80], dont les deux membres ont été multipliés par le mineur Aj supposé différent de zéro, la pre-

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 69

mière des équations répondant aux formules de Cramer, c'est-à-dire Téquation

(a) A.a?r=:A,/7i-+-A,/?i-i-Aj/?3-+-. . .-l-A„/?„,

on forme un système équivalent au système (i).

Or, si le second membre de Téquation (a) est différent de zéro, cette équation, d'après l'hypothèse A=o, e%i impossible {Âlg. élém., 115), ainsi que le système dont elle fait partie.

Si le second membre de l'équation (a) est aussi nul, cette équation devient une identité {Alg, éléni., 116), et le système dont elle fait partie se réduit à un système de {n— i) équations à n inconnues : il est donc indéterminé {Alg, élém,, 145).

84. Nous ne croyons pas utile de poursuivre plus loin cette discussion, le théorème général que nous allons démontrer la rendant beaucoup plus simple et, en même temps, plus complète.

Théorème général de M. Eng. Ronché.

85. M. RoucHÉ a fait connaître ce théorème par une Note insérée dans les Comptes rendus de r Académie des Sciences (29 novembre 1875). Il Ta exposé ensuite, avec plus de développements, dans le Journal de l* École Polytechnique (XL VIII* Cahier, 1880), sous le titre de Note sur les équa-lions linéaires. C'est cette exposition que nous prendrons pour guide, en simplifiant les définitions d'abord adoptées d'après les nouvelles réflexions que l'auteur a bien voulu nous communiquer.

86. Nous représenterons les inconnues par la même lettre affectée d'indices différents.

Soit donc le système d'équations linéaires

Ce système, formé de n équations renfermant m inconnues, et où n peut être supérieur y égal ou inférieur à m, répond à tous les cas possibles.

ALGEBRE SUPÉRIEURE.

D'une manière générale, nous ne pourrons pas (sauf le cas de n=zm) former un déterminant avec les coefficients des inconnues, mais bien un Tableau rectangulaire analogue à ceux dont nous avons déjà parlé (75). Ce Tableau rectangulaire sera

et Ton pourra en déduire des déterminants proprement dits, en y considérant les éléments communs à un certain nombre de lignes et à un nombre égal de colonnes.

87. Nous supposerons d* abord que tous les éléments du Tableau (T) ne sont pas nuls, et qu'il y en a au moins un différent de zéro.

Dans cette hypothèse, parmi les déterminants déduits du Tableau (T), on en trouvera au moins un qui ne sera pas nul et qui sera d'un certain ordre. S'il en existe plusieurs qui ne soient pas nuls, on choisira parmi eux celui d'ordre supérieur. S'il y en a plusieurs de cet ordre supérieur, on en choisira parmi eux un à volonté.

Le déterminant ainsi choisi, que nous désignerons par ^, est appelé le déterminant principal du système (i), et si p est son ordre, p ne peut évidemment surpasser le plus petit des deux nombres m et n.

D'après cette définition, les déterminants d'ordre supérieur à p, que l'on pourra déduire du Tableau, seront nécessairement nuls.

On peut d'ailleurs, en disposant convenablement les équations (i), supposer, sans restriction aucune, que à est le déterminant obtenu en combinant les p premières lignes et les p premières colonnes du Tableau (T). On aura ainsi

Nous nommerons alors inconnues principales les p premières inconnues j:,, ^Tj, o:,, . . ., Xp^ c'est-à-dire celles qui

ALGÈBRE SUPÉRIEUBE.

ont pour coefficients les éléments du déterminant principal. Supposons maintenant qu'on borde ce déterminant, à sa partie inférieure, par les p premiers éléments de Tune des lignes du Tableau (T), non employées pour le former, et qu'on le borde en même temps, à droite, par les termes tout connus des équations de même rang que les différentes lignes dont les éléments entrent dans sa composition ainsi modifiée. On obtiendra un déterminant d'ordre {p 4- 1), que nous désignerons par ô^^^ et qui sera

p-hOL '^p-hOL

On pourra évidemment déduire ainsi, du déterminant principal ô, {n —p) déterminants d'ordre (/? -+- 1), en faisant varier a depuis i jusqu'à n—p^ puisque {n — p) lignes du Tableau (T) n'ont pas été employées dans la formation de à.

Ces {n—p) déterminants d'ordre /> -M sont appelés, à leur tour, les déterminants caractéristiques du système (i).

Lorsque 7? est égal à /i, toutes les lignes du Tableau (T) figurent par leurs p premiers éléments dans le déterminant principal d, et il n'existe aucun déterminant caractéristique du système (1).