Nous simplifierons l'écriture en posant
c'est-à-dire en mettant les équations (i) [86] sous la forme
Nous considérerons alors les expressions V„ Vj, V3, ..., V», comme les seconds membres des n équations (2). Rien ne sera changé par là au système proposé.
89. Ces préliminaires établis, nous pouvons énoncer la proposition qui renferme toute la théorie des équations du premier degré :
!• Pour que n équations linéaires à m inconnues soient
ALGEBRE SUPÉRIEURE.
coHPATrBLES, il faut et il suffit que tous les déterminants caractéristiques du système soient nuls ou qu'il n'en caviste aucun, 2* Les équations données étant compatibles j le système qu'elles forment admet une solution unique et déterminée , lorsque toutes les inconnues sont principales {auquel cas m = n =7?). Lorsque toutes les inconnues ne sont pas principales, le système est indéterminé.
90. Nous démontrerons d'abord la première partie de celle proposition.
Formons les deux déterminants suivants, en les égalant à zéro,
aÇ"~* a^ flr?"^* a^-^ a? a?-»-*
aM a? «?-'
Xp-V;,
Dans le premier, nous ferons varier ^ depuis i jusqu'à /?, et nous aurons /> équations; dans le second, nous ferons varier a depuis 1 jusqu'à n—p^ et nous aurons n—p équations. L'ensemble des expressions (3) et (3') constitue donc un système de n équations entre les m inconnues x,, j:,.
Nous allons comparer le système (2) au système (3, 3') et prouver leur équivalence.
Il est d'abord évident que toute solution du système (2) satisfait au système (3, 3'); car, pour cette solution, la dernière colonne de chacun des déterminants (3) et (3') est composée d'éléments nuls, et ces déterminants sont nuls (52).
Réciproquement, toute solution du système (3, 3') satisfait au système (2).
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 78
En effet, multiplions respectivement les équations (3), ce qui ne changera pas leurs solutions, par les facteurs
al
7 étant Tun des nombres i, 2, 3, . . ., />. Il suffira pour cela de multiplier la dernière ligne du déterminant (3) par le facteur considéré (54), c'est-à-dire de remplacer l'élément i de cette dernière ligne par ce facteur. Les nouveaux déterminants obtenus ne différeront que par leur dernière ligne, où tous les éléments sont nuls, excepté le facteur introduit à la place de i. Par conséquent, (3 devant varier de i à /?, ou le rang de la colonne où se trouvait l'élément i devant varier de 1 à/7, on n'aura, pour ajouter ces nouveaux déterminants, ce qui est permis {Alg. élém,, 1*22), qu'à conserver toutes les autres lignes du déterminant (3), en remplaçant la dernière par la somme de toutes les dernières lignes des nouveaux déterminants (58) ou, à cause des éléments nuls, par la ligne
. aÇ 0.
On a ainsi
la relation
... aP
... aÇ
Xy Vy
... aÇ
En écrivant la dernière colonne comme nous l'indiquons, celle relation devient
! al a\ ... af X» — V, -t- .• . . aP Xs — V, +
a\ al
ai
+ Xv-V,
74 ALGÈBBE SUPÉRIEURE.
et Ton voit alors qu'elle se décompose (56) en deux déterminanls dont Tun, formé par toutes les colonnes moins la dernière, est nul comme présentant deux lignes identiques (4>7), et dont l'autre, formé par toutes les colonnes moins ravant-dernière, est précisément égal en valeur absolue au déterminant principal S multiplié par le facteur Xy— Vy (51). On a donc, puisque à n'est pas nul (87),
Xy Vy=ZO ou Xy:=Vy ( / = I , 2, 3, . . . , ^7 ) .
Si Ton considère maintenant le déterminant (3'), les solutions qu'on vient de trouver annulent tous les éléments de la dernière colonne, moins le dernier. Les équations (3') se réduisent donc (51) à
OU à
11 résulte de cette analyse que toute solution du système (3, 3') vérifie le système (2). Ces deux systèmes sont bien, par suite, équivalents, et nous pouvons considérer le système (3, 3') à la place du système (2).
Nous allons simplifier le système (3, 3').
Prenons d'abord le déterminant (3) qui est d'ordre p-hJ, Il équivaut, à cause de l'élément i de la dernière ligne (51), au déterminant mineur de première classe obtenu en supprimant la dernière ligne et la colonne de rang j3, supposées toutes deux amenées préalablement au premier rang (59). On fera ensuite passer la dernière colonne à la place de la colonne de rang (3 supprimée. Pour ne rien changer à la valeur du déterminant, on devra, à cause de ces échanges (W), le multiplier par les deux facteurs (— i)/»-^?-* et {—i)P~^y dont le produit est — i. Ainsi le déterminant (3) devient d'abord
«?-' X,-V, a?** ... aÇ
a\ . . 4-' X,-V, af-^'
a« ... ag-' Xp-Vp a?"' ••• K
A cause de la colonne composée (56), ce déterminant (4) peut ensuite se mettre sous la forme
