CHAPITRE IX
CALCUL DES VALEURS ARITHMÉTIQUES DES RADICAUX, EXPOSANTS FRACTIONNAIRES ET NÉGATIFS.
Observations préliminaires.
128. La puàsance m'^"** d*iine expression algébrique est le produit de m facteurs égaux à V expression donnée.
On n'a donc, pour obtenir celle puissance, lorsqu'il s'agil d'un monôme, d'un polynôme ou d'un rapport, qu'à appliquer les règles démontrées précédemment (yl/^.efe'/n,, 23, 28, 61).
Lorsque l'expression proposée est elle-même un produit ou une puissance, on a recours aux théorèmes établis en Arithmétique {Arithm,, 76, 75), et qui s'étendent immédiatement aux expressions algébriques. .
129. La racine m'*"** d'une expression algébrique est Vexpression qui, élevée à la puissance /n, reproduit Vexpression donnée.
Comme nous l'avons déjà dit souvent, on indique la racine m»*™** d'une expression à l'aide du signe y/ , affecté de l'indice m. Si a élevé à la puissance m reproduit A, on écrit
a^sjk.
Nous verrons plus tard que toute racine m^^^^ a m valeurs. Nous nous bornerons ici à quelques remarques indispensables pour préciser la question que nous voulons traiter, et qui découle tout naturellement du Chapitre consacré aux nombres incommensurables.
130. On appelle réelles les quantités positives et négatives. Cela posé, A peut avoir une valeur positive ou négative,
m peut être pair ou impair.
Examinons ces différents cas :
I ° Si m est pair et que k soit positif, y/A admet deux valeurs réelles, égales et de signes contraires.
En effet, qu'on affecte la valeur absolue de ^X du signe ^ou du signe —, comme m est pair et que le produit d*un nombre pair de facteurs négatifs'est positif (>4/^. élém., 38), on obtient toujours A comme résultat en prenant m facteurs
égaux à -\-"s/k ou à — VA. Si a désigne ia valeur absolue de
VA, on a donc, d'une manière générale,
2" Si m est pair et que A soit négatif, "\/k ne peut être exprimée par un nombre positif ou négatif, puisque le produit d'un nombre pair de facteurs positifs ou négatifs est positif.
On donne à une pareille expression le nom ^'expression imaginaire, par opposition aux quantités positives ou négatives qualifiées de réelles.
Nous traiterons plus loin de la Théorie et du Calcul des expressions imaginaires {Algèbre supérieure, 11° Partie).
3° Si m est impair, (/A n*a ({M'une seule valeur réelle, de même signe que A : en effet, un nombre impair de facteurs positifs donne un produit positif, un nombre impair de facteurs négatifs donne un produit négatif.
Si l'on désigne par a la valeur absolue de VA, abstraction faite du signe de A, on aura donc, d'une manière générale,
"sJX -^ -t- a, si A est positif; vA ——a, si A est négatif.
131. Nous conviendrons, dans ce qui va suivre, de regarder les quantités placées sous les radicaux considérés comme ayant seulement des valeurs positives, et nous n'admettrons que les racines positives de ces mêmes quantités (130). Nous nous limiterons ainsi à ce qu'on appelle les valeurs arithmétiques des radicaux.
Les indices des radicaux seront des nombres entiers et positifs et, jusqu'à indication contraire, les exposants des puissances rempliront la même condition.
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 1 l'i
Calcul des valeors arithmétiques des radicaux.
132. Il n'y a pas lieu de s'arrêter à Vaddition et à la soustraction des radicaux. Le plus souvent, on ne peut qu'indiquer l'opération à effectuer. Si des simplifications sont possibles, elles dépendent des transformations que nous allons étudier et de ce qu'on a dit en Algèbre élémentaire sur la réduction des termes semblables.
133. I. Pour multiplier plusieurs radicaux de même indice, on multiplie les quantités placées sous ces radicaux, et Von affecte leur produit du radical commun.
Il faut démontrer l'identité
Va.Vb.vc-Vabc,
A, B, C étant des quantités quelconques positives.
Or, pour élever un produit à une puissance, il faut élever à cette puissance chaque facteur du produit {Arithm,,* 76). On a, de plus, par définition,
(Vâ)"==a.
Enfin, comme nous ne considérons que les valeurs arithmétiques des radicaux (131), un radical n'a qu'une seule valeur Si l'on élève alors à la puissance m les deux membres de l'égalité supposée, on trouve
(VÂ.VB.Vcy'r^ABC,
ce qui justifie l'énoncé; car, puisque le premier membre, élevé à la puissance w, reproduit ABC, il représente bien, suivant les conventions admises» V^BC .
134. L'identité qu'on vient de démontrer, et qu'on peut écrire
Vïbc^Vâ.Vb.Vc.
prouve, réciproquement, que, pour extraire la racine d'un produit, il faut extraire la racine de chaque facteur.
On peut donc simplifier l'expression d'un radical lorsqu'il recouvre le produit de deux facteurs, dont l'un est une puissance exacte par rapport à l'indice du radical.
De c. — Cours, ni. 8
Io6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Un raisonnement identique à celui du n» 122 montre que les nombres de ces deux séries convergent respectivement vers une limite qui est la même pour les deux suites; car, en s*arrétant à un rang quelconque, on a
«« . «^ «rt P«
et les deux fractions du second membre de cette identité {Alg, élém., 62) tendent en même temps, autant qu'on veut, vers Tunité (118), lorsque n croît indéfiniment suivant une loi quelconque.
C'est cette limite commune qui est le quotient y
Comme on a, quel que soit //,
on a aussi, à la limite.
Qt Cf-n
^/i ^~ Prt g7 »
ft ^
et le quotient ^ est le nombre qui, multiplié par ^, reproduit OL.
125. Puissances. — Ce que nous avons dit relativement au produit de deux ou de plusieurs facteurs incommensurables (123) doit subsister lorsqu'on suppose tous les facteurs égaux entre eux. C'est ce qu'on peut vérifier directement.
m étant un nombre quelconque entier et positif, mais y?/*/, il faut définir la puissance w'»'"^ d'un nombre incommensurable a.
Formons les deux puissances (««)"* et (a',,)"*. Ces puissances constituent deux séries correspondantes, quand on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque.
Les nombres de la première série, puissances des valeurs principales par défaut, ne pouvant décroître (117), croissent en général, en restant inférieurs à un nombre quelconque de la seconde série. Les nombres de la seconde série, puissances des valeurs principales par excès, ne pouvant croître (117), décroissent en général, en restant supérieurs à un
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. lOJ
nombre quelconque de la première série. Les nombres des deux séries convergent donc respectivement vers une limite qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrôtant à un rang quelconque, on a {Arit/im., 218)
et la fraction entre parenthèses du second membre de celte identité tend autant qu'on veut vers l'unité, lorsque n croît indéfiniment suivant une loi quelconque (118).
C'est cette limite commune qui est la puissance /n'^'^% a"*, de a.
126. Racines. — C'est Textraction des racines qui nous a conduit, en Arithmétique, à la notion des nombres incommensurables.
D'une manière générale, extraire la racine m**™* d'un nombre, en supposant m quelconque, mais entier et positif, c'est chercher le nombre qui, élevé à la puissance m, reproduit le nombre donné.
Il résulte de celte définition que les racines m»*"»*'* des nombres entiers qui ne sont pas des puissances exactes du même degré m d'autres nombres entiers, et les racines m'*""'» des fractions irréductibles dont les deux termes ne sont pas des puissances exactes de degré m, sont des nombres incommensurables {Arithm,, 218, 219).
Si nous considérons un nombre positif A, il y aura donc trois cas à distinguer.
Si A est entier et si l'on peut trouver un nombre entier a,
tel qu'on ait
a sera la racine m**™^^ de A.
Si A est fractionnaire et égal à — > on peut poser
Si Ton trouve alors un nombre entier a, tel qu'on ait
a"*=:pq"^-l
Il6 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
Des exposants fractionnaires.
140. Puisqu'on peut diviser par un même nombre Tindice d'un radical et l'exposant de la quantité qu'il recouvre (138), il est permis d'écrire
mp
La fraction — a pour numérateur l'exposant de la quantité
placée sous le radical et, pour dénominateur, l'indice de ce radical.
La forme fractionnaire de l'exposant n'entraîne ici aucune remarque, puisque celte forme fractionnaire correspond à un quotient entier; mais il y a avantage évident ou, pour mieux dire, le caractère de V Algèbre conduit nécessairement à étendre, par convention, cette notation^ au ca^ même où Veœposant de la quantité placée sous le radical n'est pas divisible par l'indice du radical.
En effet, les règles relatives au calcul des quantités affectées d'exposants, qui ont été démontrées en Arithmétique {Arithm,, 73 et suiv.), exigent que ces exposants soient en^ tiers. Mais, en Algèbre, les exposants, eux aussi, peuvent être représentés par des symboles généraux. Il faut donc qu'on puisse supposer ces symboles remplacés par des valeurs quelconques, et d'abord par des valeurs fractionnaires, sans que les règles de calcul soient modifiées, sauf interprétation finale. *
Or cette extension sera facilement justifiée si nous admettons conventionnellement Véguivalence des deux expressions
^A'" et Ap, m eip étant des quantités entières et positives quelconques.
Le numérateur m de l'exposant fractionnaire — indique
alors à quelle puissance on doit élever d'abord A, et le déno» minateur p quelle racine on doit extraire ensuite du résul" tat A"".
Remarquons, avec soin, que la valeur delà seconde expres-
sion A^ est indépendante de la forme donnée à l'exposanl
ALGEBRE SUPÉRIEURE. I I 7
fractionnaire — {Arithm,, 188); il faut donc qu'il en soit de
même de la valeur de la première expression Ç^Â/^. S'il n'en était pas ainsi, la convention proposée pourrait entraîner ambiguïté et ne serait pas complètement légitime.
Or de
on déduit
Il faut donc qu'on ait aussi
Si l'on ramène les deux radicaux au même indice (138), il vient
et, comme d'après l'hypothèse — = — ^, on a nécessairement
iAritkm., 388)
mp' =z ni'p,
les deux radicaux, réduits ou non au même indice, sont bien Identiques.
Il est utile d'observer que, pour calculer la valeur numérique d* une puissance fractionnaire, il faut revenir à la forme radicale.
Après ces considérations, il reste à prouver que les règles démontrées dans le cas des exposants entiers {Arithm,, 73 et suiv,) s'étendent immédiatement au cas des exposants fractionnaires.
141. I. Pour multiplier deux puissances fractionnaires d'une même quantité, on ajoute leurs exposants.
On a, en effet, d'après les théorèmes précédents et en revenant finalement à la forme fractionnaire
mq + np m n
On peut supposer m on n égal à i , /> ou ^ égal à i .
ii8
142. II. Pour diviser deux puissances fractionnaires d'une même quantité, on retranche leurs exposants.
Avec la restriction — > - > qui sera levée bientôt, et en opérant comme on vient de l'indiquer, on a
A'' : Av .=: ykr' : y^A» = ''v^Â^^TÂ^
mq — np
—.yK""i-»p—k pv —A'' "f.
On peut supposer m on n égal à i,p ouq égal à i.
14-3. III. Pour élever une puissance fractionnaire à une autre puissance fractionnaire, on multiplie les deux expo^ sants.
On peut écrire, en effet,
(aJ/ =
mn
On peut supposer m ou n égal à i^p ou g égal à i.
144. IV. Pour élever un produit à une puissance fractionnaire, il suffit d'élever chaque facteur à cette puissance.
On a évidemment
(ABC)'' = VïÂM)"' == Ç/A'^B^'G"*
= \/X^^'B^^=\pBPC'p.
fn m m
Des exposants négatifs.
145. La nécessité de conserver aux symboles algébriques toute leur généralité nous a conduit à admettre les exposants fractionnaires. Nous devons de même admettre les exposants négatifs et chercher Tinterprétation dont ils sont susceptibles.
Nous avons vu {Alg, élém,, 43) que les exposants négatifs apparaissent lorsqu'on veut appliquer là règle de la division
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. IIQ
des monômes au cas où Texposant d'une certaine lettre est plus faible au dividende qu'au diviseur.
A"* Soit l'expression -j^* Si m surpasse /i, on en déduit immédiatement
^zA"'-".
Mais, 57 m est plus petit que n et si Ton s'en tient à la définition
générale des puissances, l'expression A"*-'* n*a plus aucun
sens.
Posons alors
en désignant par p la diflférence positive des deux exposants n et m. On peut écrire
A m km km w
^n ^m^p p^'nXP A^
On trouve d'ailleurs, en appliquant la règle de la division des monômes {Alg, élém,, 41),
Il est donc naturel d'admettre ou de con^^enir que les deux expressions
A- et J^
sont équivalentes, ^
Toute quantité affectée d'un exposant négatif revient ainsi à V inverse de cette quantité affectée du même exposant pris positivement.
Il faut seulement montrer que la notation des exposants négatifs n'implique pas contradiction, en ce sens que, si elle est admise dans le cas où p est positif, elle subsiste par cela même lorsque/; reçoit une valeur négative, telle que — p\
En effet, p' étant positif, on a, par convention,
a-P = — -, ou aP — — -, aP a~P
c'est-à-dire, précisément,
Il est utile d'observer que, pour calculer la valeur numérique d'une puissance négative, il faut revenir à la forme fractionnaire.
Après ces considérations, il reste à prouver que les règles démontrées dans le cas des exposants positifs^ entiers ou fractionnaires, s'étendent immédiatement au cas des exposants négatifs.
14.6, I. Pour multiplier deux puissances négatives d'une même quantité, on ajoute leurs exposants.
On a, en effet, d'après des théorèmes connus et la convention adoptée,
A-"' X A-^ = -^- X -A — -r-ri.
147. II. Pour diviser deux puissances négatives d'une même quantité, on retranche leurs exposants.
On a de même
k-m • K-q — . — — XÇ-m — \(-m)-(-q)
IW. III. Pour élever une puissance négative à une autre puissance négative, on multiplie les deux exposants.
On peut écrire, en effet,
J^mq — - J^(-m:,<'-q)
149. IV. Pour élever un produit à une puissance négative, il suffît d'élever chaque facteur à cette puissance.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l'J'.l
On a, évidemment,
