THÉORIE DES FRACTIONS CONTINUES
Définitions et notions préliminaires.
151. On attribue à lord Broungker rinvention des fractions continues; mais la découverte de leurs principales propriétés et de leurs précieux avantages est surtout due à Hctgens,
La théorie des fractions continues fournit une nouvelle méthode pour obtenir des valeurs de plus en plus approchées d'un nombre donné, et c'est ainsi qu'elles s'introduisent naturellement dans l'Analyse.
S'il s'agit, en effet, de trouver une valeur approchée d'un nombre N, le plus simple est d'indiquer sa partie entière a. On peut alors écrire, en supposant/ plus grand que i,
Ni=a '
On peut évaluer alors la partie entière 6 de 7 et poser
Mt
en supposant z plus grand que i. Si c est la partie entière de Zy et u une quantité plus grande que i; si <i est la partie entière de «, et v une quantité plus grande que i, on a, de même.
z - c -\ — et w-rt-f-
En remplaçant successivement, dans l'expression de N, les quantités /, z, u par leurs valeurs, on trouve la valeur de N
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. I 2'i
SOUS cette forme particulière :
(i) KT=a-\ '
En continuant les calculs indiqués, deux cas peuvent se présenter.
L*un des nombres y^ 5, a, r, ... peut être entier. Dans cette hypothèse, l'opération se trouve terminée, et Ton dit qu'on a obtenu le développement exact de N en fraction continue.
Si aucun des nombres y, z, Uy v, . . . n'est entier, Topéralion ne se termine pas et peut se poursuivre d'une manière illimitée, bien que Tégalité (i) subsiste toujours. Si Ton néglige alors l'une des fractions —>-)-->")•••> cette égalité ° ° y z u V ^
devient approximative, et Ton obtient pour N des valeurs approchées qu'on appelle des réduites ou 6es fractions convergentes.
La première réduite est ici a ( en négligeant — ); la deuxième réduite est a -f- 7 ( en négligeant - ) ; la troisième réduite est
> (en négligeant - ); et ainsi de suite.
Les dénominateurs successifs y, z, </, ... sont des quotients complets, tandis que les nombres b, c, d, . . . , qui représentent les parties entières de ces dénominateurs, sont des quotients incomplets. On donne encore le nom de frac-
I 1*1 tiens intégrantes aux fractions -7 y --> -.•>
On voit que les quotients incomplets by Cyd, ... sont des nombres entiers positifs au moins égaux à i, et que a, seul, peut être nul si N est un nombre inférieur à Tunité.
152. L Tout nombre commensurable correspond à une fraction continue limitée et y réciproquement, toute fraction continue limitée représente un nombre commensurable.
l'24 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Soit le nombre commensurable fr- Divisons A par 6 : soient
a le quotient et r le reste. Nous aurons {Arithm,, 212, 185), en ramenant à l'unité le numérateur de la fraction complémentaire,
Divisons B par r : soient b le quotient et r' le reste. Nous aurons de même
On est ainsi conduit à diviser r par r', et Ton s'aperçoit sans peine que les opérations à effectuer sont précisément celles que Ton doit faire pour chercher le plus grand commun diviseur des nombres entiers A et B. Lors même que ces nombres seraient premiers entre eux, on arrivera donc à un reste qui divisera exactement le reste précédent ou, si Ton veut, à un reste nul {Arithm., 113), c'est-à-dire que la
fraction continue qui représente le développement de ^ aura
un nombre limité de termes.
Les quotients fournis par l'opération du plus grand commua diviseur font connaître les quotients incomplets 6, c, <i, . . ., et les inverses de ces quotients sont les fractions intégrantes I I I
Réciproquement, soit une fraction continue limitée. Pour démontrer qu'elle représente un nombre commensurable, il n'y a qu'à effectuer, en remontant, sur les fractions intégrantes et les quotients incomplets, les opérations indiquées, et l'on sera nécessairement conduit à une fraction à termes entiers.
Pour fixer les idées, nous prendrons un exemple numérique, et nous supposerons qu'on ait
Il viendra successivement I 64 e
153. II. Tout nombre incommensurable correspond à une fraction continue illimitée et, réciproquement, toute fraction continue illimitée représente un nombre incommensurable.
Cette proposition est la conséquence évidente de la précédente (152).
154. III. Dans toute fraction continue, les valeurs des réduites sont alternatii^ement plus petites et plus grandes que la valeur de la fraction continue elle-même : les réduites de rang impair sont plus petites que la fraction continue^ les réduites de rang pair sont plus grandes. ,
Considérons, en effet, la fraction continue
N — an >
qui provient des égalités successives (151 )
N^a-+--J; (J>i), yzzzb^^ (5>i),
En prenant a au lieu de N, on néglige la fraction - : on a
donc
I 26 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
En prenant a -h r au lieu de N, on néglige la fraction -
dans l'expression exacte
On diminue donc le dénominateur de la fraction complémentaire, c'est-à-dire qu'on augmente cette fraction : on a donc
En prenant a h au lieu de N, on néglige la fraction —
